Презентация на тему "Геометрические приемы в алгебре" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  «Геометрические приемы в алгебре»

  Учитель математики МБОУ лицей «Технический» г.Самары Сергеева Наталья Викторовна

• 
  Слайд 2
  

  Например, если из условия следует, что допустимые значения переменной Хопределяются неравенством |X|≤ 1, то удобны замены Х=sinα, α∈[-П/2;П/2] илиX=cosα,α∈[0;П].В случаях, когда переменная может принимать любые значения, используются замены X=tgα, α∈[-П/2;П/2]илиX=ctgα, α∈[0;П].

• 
  Слайд 3
  

  Решите уравнение√(1- х2)= 4х3 - 3хРешение: |x|≤1 – из условия. Пусть х=cosα,α∈[0;П],тогда получим √ (1 - cos2α) = 4cos3α– 3cosα или |sinα| = cos3α,но в нашем случае sinα ≥ 0, так что sinα = cos3α, или cos3α = cos(П/2 - α ) = 0продолжение на сл. слайде

• 
  Слайд 4

  cos

  Решая последнее уравнение, имеем: α =П/8 + Пк/2, к∈z или α = 3П/4 + Пn, n∈z Условию 0 ≤ α ≤ П удовлетворяют три значения: α 1 = П/8; α 2 = 5П/8; α 3 = 3П/4 Поэтому Х1 = cos(П/8) = √(1+cosп/4)/2 = = √ (1+ (√ 2/2))/2 = 1/2 √ (2+ √ 2) Х2 = cos(5П/8) = -√(1+cos(5п/4))/2 = = -√(1-cosп/4)/2 = - 1/2 √ (2- √ 2) Х3 = cos3П/4 = -cosП/4 = - (√ 2)/2 Ответ: -(√2)/2; -1/2 √ (2- √ 2); 1/2 √ (2+ √ 2).

• 
  Слайд 5

  Негеометрические задачи и их геометрическое решение.

  Дано: X2 + Y2 = 9 Y2 + Z2 = 16 Y2= XZ Найти: XY+YZ B 4 3 y C zDx A Решение: т.к. X>0, Y>0 и Z>0, то задачу можно интерпретировать геометрически. По теореме, обратной теореме Пифагора, числа x,y и 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы тр. ABD (угол D прямой). Тогда, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что y, z и 4 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы тр. CBD (угол D прямой).

• 
  Слайд 6
  

  Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число Y есть среднее пропорциональное чисел X и Z. Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол ABC прямой. Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражение XY+YZ. XY + YZ = (X + Z) * Y =B = 2SABC = 3 * 4 = 12. 4 y 3 A z D x C Ответ:xy + yz = 12

• 
  Слайд 7
  

  Дано: X+Y+Z = 60 X2 + Y2 = Z2 XY/Z = 12 Решитьсистему уравнений. A D Y z 12 C x B Решение:1) Если X>0, Y>0 и Z>0, то существует тр. ABC, с прямым углом C, у которого X и Y – катеты, а Z – гипотенуза. Периметр этого треугольника равен 60, а длина его высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна 12. Изпервого уравнения получаем, что (x+y)2 = (60-z)2 , а из второго и третьего уравнений: (x+y)2= z2 + 24z. Приравняв правые части последних уравнений, заметим, что 144z = 602 , т.е. z = 25

• 
  Слайд 8
  

  Далее наша система позволяет получить другую: X + Y = 35 XY = 300 В этой системе одно неизвестное равно 15, а второе 20. Значит, исходная система имеет решения: (15; 20; 25) и (20; 15; 25). 2)В условии системы не оговаривается, что x,y и z – положительные числа. Из третьего уравнения следует, что два из трех неизвестных могут быть отрицательны. Однако по ходу решения мы убеждаемся, что Z>0. Значит, могут быть только X

• 
  Слайд 9

  Спасибо за внимание!