Презентация на тему "Треугольник, простейший и неисчерпаемый"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Треугольник, простейший и неисчерпаемый.Задачи для подготовки к ЕГЭ.

  Авторы творческой работы: Учащиеся 9 «Г» класса МОУ СОШ №96 г. Краснодара Головнин Александр, Коровин Илья , Воробьев Александр. Руководитель проекта учитель математики Сосна Ольга Александровна.

• 
  Слайд 2
  

  Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

  В. Произволов

• 
  Слайд 3

  Аннотация к работе.

  Цель нашей работы - помочь учащимся подготовиться к итоговой аттестации. Для успешного выполнения экзаменационных заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый практический опыт . Работа может быть полезна учащимся не только 9 класса, но и 8 и 10 классов, которые в будущем будут сдавать ЕГЭ. Кроме того, надеемся , что наша презентация послужит хорошим подспорьем для учителей математики при проведении уроков по темам , связанным с треугольником. Текст на слайдах появляется по щелчку мышки, есть время подумать над задачей , проанализировать условие, потом сравнить свое решение с нашим. Презентация содержит историческую справку о треугольниках и краткий справочный материал.

• 
  Слайд 4
  

  Задача №1 Задача №2 Задача №3 Задача №4 Задача №5 Задача №6 Задача №7 Задача №8 Задача №9 Содержание . Исторические сведения Справочный материал

• 
  Слайд 5

  Задача №1

  Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м.. Найдите его высоту, проведенную из вершины большего угла. Дано: A B C ABC - треугольник AB =12 м. BC =16 м. AC = 20 м. Найти: BD = ? м. D

• 
  Слайд 6

  Анализ условия задачи№1:

  A B C D 90 о 12 16 20 X AD = X DC = 20 - X 2 Угол B = 90˚, так как AC = BC + BA 2 2

• 
  Слайд 7

  Решение задачи№1:

  12 16 20 X A B D Рассмотрим треугольник ABD C D B BD = 12 - X 2 2 2 Треугольники подобны BD = X(20 – X) 2 12 – X = X(20 – X) 2 2

• 
  Слайд 8
  

  12 – X = X(20 – X) 2 2 144 – X = 20X – X 2 2 144 – X –20X+ X = 0 2 2 144 – 20X= 0 7,5 – X= 0 X= 7,2 BD = 7,2(20 – 7,2) = 92,16 2 BD = 9,6

• 
  Слайд 9

  Задача №2

  Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Дано: MCN – вписанный треугольник MC =15 Найти: MN M C N D DN =16 d

• 
  Слайд 10

  Решение задачи№2:

  90 o M C N D 15 16 d d = MN = MD + DN MD =x x d = x + DN

• 
  Слайд 11
  

  M C N D x CD = MD DN = 15 - x 2 2 x 2 CD = MC - MD = x 16 2 2 2 x Рассмотрим треугольник MCD

• 
  Слайд 12
  

  15 - x = x 16 2 2 x x + 16x – 255 = 0 2 D = 256 + 900 = 1156 x = 1 - 16 - 34 2 = -25 x = 2 - 16 + 34 2 = 9 d = x+ DN d = 9+ 16 = 25

• 
  Слайд 13

  Задача №3

  Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на отрезки СМ=10 и МВ = 14, АВ=21. Найдите радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности. Дано: CM=10, MB=14, AB=21 Найти : R=? А С В M O

• 
  Слайд 14

  Решение задачи№3:

  M 14 10 21 А С В O 1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. = AB BM AC CM = 21 14 AC 10 AC= 15 2.Радиус описанной окружности найдём по формуле: R= a ∙ b ∙ c 4 ∙ S Где S найдём по формуле Герона S= √ p(p-a)(p-b)(p-c) 15 Где p= 1 2 (a + b + c) p= (24 + 21 +15) 1 2 p= 30 S= √30∙9∙15∙6= 90√ 3 R= 21 ∙ 15 ∙ 24 4 ∙ 90 ∙ √ 3 = 7√ 3 Ответ: R= 7√ 3

• 
  Слайд 15

  Задача№4:

  Дано: ∆ ABC, H А B C O BH= 12, BH  AC, sin A= 12 13 sin C= 5 4 Найти: r Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если высота BH равна 12 и известно , что sin A= 12 13 sin C= 5 4 О – центр , вписанной окружности

• 
  Слайд 16
  

  Решение задачи№4: H А B C O 1. r = S p 2. По определению синуса из ∆BHC , где BHC=90 ( по условию BHAC) sinA = = BH AB 12 13 AB = 12 : = 13 12 13 3. sinС = = BH BC 4 5 BC = BH : sinC = 15 4. HC² = BC² - BH² = 225 – 144 = 81 HC = 9 5. AH² = AB² - BH² = 25 AH = 5 6. AC = AH + HC = 14 7. S∆ = ah = = 84 1 2 168 2 p = (a + b + c) = 21 1 2 21 r = = 4 84 Ответ : r = 4

• 
  Слайд 17

  Задача №5

  Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника BOC равна 16. Дано: АВС, АС- основание, ВАС=75, О – центр описанной окружности, S BОC=16. Найти: R. А В С О D

• 
  Слайд 18

  Решение задачи №5

  В А С О D 1.Треугольник по условию равнобедренный, проведем высоту BD, она является и медианой, Поэтому точка О принадлежит BD. 2. ОВ=ОС =R, SBOC= 1/2ВО*ОС*sinBOC 3.Треугольник вписан в окружность с центром О, значит ВОС это соответствующий центральный угол вписанного угла А и равен 150 4. 16= 1/2 R*R*sin150, sin150=sin30=1/2 R=8 Ответ: 8

• 
  Слайд 19
  

  Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м.Найдите больший катет треугольника Задача №6 Дано:  АВС, С=90 r=2 м, R=5м, О1- центр вписанной окружности, Найти: больший катет N А В С О₁ M K О

• 
  Слайд 20
  

  Решение задачи №6 О – центр описанной окружности; так как треугольник АСВ прямоугольный, то его гипотенуза является диаметром окружности, угол АСB =90 и является вписанным AB = 2R = 5 ∙ 2 = 10 м. 2. O₁ - центр вписанной окружности: O₁K AB; O₁M AC; O₁N CB; O₁N = O₁K = O₁M = r = 2м, СМО1N- квадрат 3. Отрезки BK и BN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, аналогично CN = CM; AM = AK; обозначим BK = BN = x; тогда CB = 2 + x; AK = AM = 10 – x; AC = 12 – x. 4. По т. Пифагора AB² = CB² + AC²; 10² = (2 + x)² + (12 –x)² 2x² - 20x + 48 = 0, x² - 10x = 24 = 0, x₁ = 6, x₂ = 4; AC = 12- 6 = 6; CB = 2 + 6 = 8м. Ответ: 8м. N А В С О₁ M K О

• 
  Слайд 21
  

  Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности - 6 м. Найдите диаметр описанной окружности. Дано: ABC – треугольник P=72 C=90⁰ r=6 м Найти d описанной окружности. Задача №7 A C B 6 О M y K y 6 N x x

• 
  Слайд 22
  

  Решение задачи №7: ∆АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚, Значит диаметр описанной окружности совпадает с гипотенузой т.е. d=AB 3. Обозначим отрезки BN = BK = x (OK  AB) OK=r , ВN=ВК как отрезки касательных AM = MK = y P ∆АВС = AC + AB + CB, но АС = 6+у, АВ = x + у СВ = 6+х P∆АВС = 6+у+х+у+6+х = 12+2х+2у = 72 (по условию) х + у = (72-12) : 2 ,х + у = 30 , АВ=30 2. О – центр вписанной окружности, ON = ОМ = r = 6 По свойству касательной ON CВ , ОМ ВС ; значит СМ=СN, как отрезки касательных к окружности с центром О, проведенных из одной точки, итак , четырехугольник CMON – квадрат со стороной ОМ = 6. A C B 6 О M y K y 6 N x x Ответ : 30

• 
  Слайд 23
  

  Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины основания – 24 м. Найдите площадь треугольника. Дано: ABC – треугольник AB=BC AC=3 см ADBC AD=24 см Найти: S ABC A C B X X-DC 24 см D Задача № 8

• 
  Слайд 24
  

  Решение задачи №8: S ∆АВС = ½ AD ∙ BC Найдём ВС, обозначим АВ = ВС = х, тогда DB = x - DC 2. Из ∆АВС найдём DC DB = x -18 S∆АВС = ½ 24 ∙ 25 = 300 (м ) 2 Ответ: 300 м 2 3. ∆ABD по т. Пифагора имеем: AB = BD + AD ; BD = √ AB - AD (x – 18) = x - 24 36x = 324 + 576 4x = 100 X = 25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 DC = √30 – 24 = √(30 – 24) ∙ (30 + 24) = 18 A C B X X-DC 24 см D

• 
  Слайд 25
  

  Задача № 9 В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности , если DE = 8, AC = 18. Дано: АВС- равнобедренный, О- центр вписанной окружности DEAC, DE=8 AC=18 В D E A C Найти : r O

• 
  Слайд 26
  

  О В D N E M A C Решение задачи № 9 1.Четырехугольник ADEC - описанный, все его стороны касаются окружности с центром О. Стороны такого четырехугольника обладают свойством DE + AC = AD + EC. 2. По условию отрезок DE параллелен АС, а так как треугольник равнобедренный , то AD = CE, значит DE + AC = 2AD. Отсюда AD= 13. 3. Проведем ВМ –высоту треугольника, она является и биссектрисой, значит центр вписанной окружности О лежит на ВМ 4. Из вершины D и Е проведем перпендикуляры. К L 6. Из треугольника ADK : DK = 12 , DK=MN =2r , r = 6. 5. NL=DE , AK =LC и AK+LC= 18-8=10 AK = 5. Ответ : 6.

• 
  Слайд 27
  

  Исторические сведения. Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Понятие о треугольнике исторически развивалось, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. Фалес Пифагор 640/624 до н. э. прим. 570 до н. э. Евклид II век до н. э.

• 
  Слайд 28

  Справочный материал

  Проекция катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы) , соединяющий основание перпендикуляра , опущенного из прямого угла и конец катета, общий с гипотенузой. Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью . Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

• 
  Слайд 29
  

  СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!