Презентация на тему "Геометрия.Теорема Морлея." 9 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Теорема Морлея

• 
  Слайд 2
  
• 
  Слайд 3
  

  Фрэнк Морли (1860–1937)— английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в EducationalTimes. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам ЭмануэляЛаскера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала AmericanJournalofMathematics, работал и в журнале BulletinoftheAmericanMathematicalSociety, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества. Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

• 
  Слайд 4
  

  Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части.

• 
  Слайд 5
  

  Теорема: Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника

  Дано:ΔABC Доказать: Δ ZYX – равносторонний A С B X Y Z         

• 
  Слайд 6
  

  A С B X Y Z          Пусть А=3, B=3, C=3, тогда 3+3+3=180. Тогда ++=60. В треугольнике ABC сторона AC =2RsinB, поэтому в треугольнике AZC AC=2Rsin³, ZAC=, ZCA=. Применим к этому треугольнику теорему синусов: Т.к Z=180--и α++=60, то sinС=sin(180--)=sin(+)=sin(60-), следовательно, согласно формуле, Доказательство:

• 
  Слайд 7
  

  A С B X Y Z          sin3=4sinsin(60+)sin(60-), поэтому AZ=8Rsinsinsin(60+) Аналогично из треугольника ABY находим: AY=8Rsinsinsin(60+) Теперь по теореме косинусов из треугольника AZY можно найти ZY²: Доказательство:

• 
  Слайд 8
  

  A С B X Y Z          Преобразуем выражение в квадратных скобках. Для этого рассмотрим какой-нибудь треугольник, два угла которого равны (60+) и (60+). Такой треугольник существует, поскольку сумма этих углов меньше 180. Третий угол этого треугольника равен . Пусть r – радиус описанной около него окружности. Тогда его стороны равны: 2rsin(60+), 2rsin(60+) и 2rsin. Применим к нему теорему косинусов: Доказательство:

• 
  Слайд 9
  

  A С B X Y Z          Сокращаем на 4r²,делаем вывод, что выражение в квадратных скобках равно sin². Следовательно, для стороны ZY окончательно получаем ZY=8Rsinsinsin. В это выражение углы ,  и  входят симметрично. Поэтому для выражений для XY и XZ будут такими же. Это означает, что треугольник XYZ –равносторонний. Доказательство:

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11

  Задача 1.

  Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Доказать, что угол СОВ на 90º больше, чем половина угла А.

• 
  Слайд 12
  

  Теорема доказана. Спасибо за внимание!