Содержание
-
Способы решения квадратных уравнений
Подготовила Родькина Ирина ученица 8 б класса
-
Цель работы: знакомство с различными способами решения квадратных уравнений. Задачи: изучить исторические сведения; приобрести новые знания; использовать различные источники информации; использовать современные информационные технологии; создать слайдовую презентацию; составить подборку задач на решение квадратных уравнений. Объект исследования: квадратные уравнения. Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
-
Гипотеза: существуют ли другие способы решения квадратных уравнений и как они используются в современном мире. Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
-
Исторические сведения
Квадратные уравнения могли решать ещё 2000 лет до н.э. вавилоняне. Во всех обнаруженных текстах задачи уже были уже с решениями без каких-либо указаний.
-
Вклад математиков
Диофант Брахмагупта Мухаммед аль – Хорезми
-
Леонардо Фибоначчи Михаель Штифель Франсуа Виет
-
Это интересно
-
Учёные, изучающие квадратные уравнения
Тарталья Кардано Бомбелли Жирар Ньютон Декарт
-
Появление значка корень
√ - радикал radix – латинское «корень» r -
-
Квадратное уравнение и его виды
Квадратное уравнение – уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0. Если в квадратном уравнении ах2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов: 1) ах2 + с = 0, где b ≠ 0; 2х2+ 4 = 0 2) ах2 + bх = 0, где с ≠ 0; 9х2 – 5х = 0 3) ах2 = 0. 6х2 = 0
-
Способы решения квадратных уравнений
Способ разложения на множители 7х2 + 9х + 2 = 0 7х2 + 7х + 2х + 2 = 0 7х (х + 1) + 2(х +1) =0 (7х +2) (х+1) = 0 7х +2 = 0 или х +1 = 0 х = –2/7 или х = –1 Ответ: –2/7; –1
-
Способом выделения квадрата двучлена х2 +4х - 12 =0 ( х2+4х+4) - 4 -12 =0 ( х + 2)2- 16 = 0 ( х+2)2 =16 х+2 = 4 или х+2= - 4 х1=2; х2= - 6 Ответ: 2; -6.
-
Способы решения квадратных уравненийПо теореме Виета (обратной)
Для приведённого квадратного уравнения x2 + px + q =0 x1 +x2=-p x1*x2=q. х2 – 5х + 6 = 0 х + х = 5, х = 2 х * х = 6 х = 3 Ответ: 2; 3 Для полного квадратного уравнения ах2 + вх +с =0 x1 +x2=-в/а x1*x2=с/а
-
Способы решения квадратных уравнений
Используя свойства коэффициентов Пусть ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0 Если а + b + с = 0, то х1= 1, х2=с/а; Если а + с = b, то х1= -1, х2= -с/а. Примеры: 1)345х2 – 137х – 208 = 0 а + b+ с = 345 –137 –208 =0, значит, х = 1, х = –208/345 2) 313х2 + 326х + 13 = 0 а +с = 313 +13 = 326 , значит, х = –1, х = – 13/313
-
Решение по формулам Где D – дискриминант Если D 0, то уравнение имеет 2 корня 1) 2х2 – 4х + 2 = 0, D = 0, 1 корень 2) х2 – 8х + 9 = 0 , D = 28 >0, 2 корня 3)2 х2 - 3х + 10 = 0, D = - 71
-
Способ переброски ах2 + bх + с = 0 Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх +ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета у1+ у2 = - в у1+ у2 = ас и окончательно:х1 = у1/а и х1 = у2/а При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски»
-
Способ переброски 2х2 + 3х – 2 = 0, умножим обе части на 2 2х=у, получим у + 3у – 4 = 0 у + у = –3 у * у = –4 у = – 4 или у = 1 х = – 4: 2 = –2 или х = 1:2=0,5 Ответ: –2; 0,5
-
Графический способ Если в уравнении x2 +px +q= 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x2 = –px– q. Построим графики зависимостей: у = х2 и у = – px – q. График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи: -прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, т.е. - два решения; - прямая и парабола могут касаться, т.е. - одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. – нет решения.
-
Графический способ х2 + х – 6 = 0 х2 = 6 – х у = х2 у = 6 – х А и В точки пересечения графиков функций
-
Графический способ С помощью программы «AdvancedGrapher» Решим уравнения: 1)2х2 -9х+7=0 2)4х2 –4х – 1 = 0 3)х2 –6х + 9 = 0.
-
С помощью циркуля и линейки
-
Корни квадратного уравнения ах²+bx+c=0 (а≠0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q , проходящей через точку А(0;1), и оси Ох. Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QA (для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох. Возможны 3 случая:
-
1 случай
Если QA> то окружность пересекает ось Ох в двух точках М(х1;0) и N( (х2;0), уравнение имеет корни х1, х2 х у Q M N A х1 х2 0
-
2 случай
Если QA= то окружность касается оси Ох в точке М(х1;0), уравнение имеет корень х1. х у Q M A х1 0
-
3 случай
Если QA
-
Пример 1
Решите уравнение х²-2x+1=0. Решение: -в/2а=1,(а+с)/2а=1, Q(1;1), А(0;1) QА=1, Окружность касается Ох в т.М, уравнение имеет 1 корень. х у M 1 0 2 1 2 Ответ: х=1.
-
Пример 2
Решите уравнение х²+4x-5=0. Решение:-в/2а=-2; (а+с)/2а=-2 Q(-2;-2),А(0;1) QА>-2,окружность пересекает ох в двух точках, уравнение имеет 2 корня. Ответ: х=-5, х=1. х у 0 1 -2 2 -2 -5
-
Пример 3
Решите уравнение х²-4x+5=0. Решение: -в/2а=2, (а+с)/2а=3 Q(2;3), А(0;1) QА
-
Способы решения квадратных уравненийИспользование языков программирования
Program kwur; var a,b,c,d,x1,x2: real; begin write('введите коэффициенты уравненияa,b,c'); readln(a,b,c); d:=b*b-4*a*c; If d>=0 then begin x1:=(-b+sqrt(d))/(2*a); x2:=(-b-sqrt(d))/(2*a); writeln('x1=',x1,' x2=',x2) end elsewriteln('действительных корней нет') end.
-
Заключение
В процессе изучения данной темы, я ознакомилась с дополнительной литературой по истории математики, со способами решения квадратных уравнений. Рассматривала данные приёмы на конкретных примерах. Из дополнительной литературы собрала задачи на нахождение корней квадратного уравнения. Знание многих способов значительно упрощает многие вычисления, экономит время при решении задач. Однако не все способы дают точный ответ и удобны. Мною изучены не все способы решения квадратных уравнений. Хотелось показать применение современных технологий, которые, конечно, упрощают сам процесс решения. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.
-
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.