Презентация на тему "Математические понятия и методика их изучения в школьном курсе математики"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Математические понятияи методика их изученияв школьном курсе математики

  ТМОМ Методические основы обучения математике

• 
  Слайд 2

  План

  Математические понятия (сведения из логики) Сущность математических понятий; Логические характеристики понятий: содержание, объем; Пути конструирования понятий; Классификация понятий Определения математических понятий Способы определения, структура определения; Виды определений Требования к корректности определений Методики изучения понятий и схемы их применения Методы формирования понятий; Организация усвоения понятий (этапы формирования); Основные приемы действий с понятиями; Система упражнений, направленная на формирование понятия.

• 
  Слайд 3

  Сущность математических понятий

  Понятие – форма мышления, отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального мира. Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира. В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов

• 
  Слайд 4

  Признаки понятия

  Признак– все то, с помощью чего объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть сходными или различными признаки существенные несущественные Существенные признаки - каждый из которых необходим, все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

• 
  Слайд 5

  Образование понятия

  Выделение с помощью анализа признаков объекта Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

• 
  Слайд 6

  Логические характеристики понятия

  Содержание понятия - совокупность всех существенных признаков объектов, охватываемых данным понятием. Объем понятия – совокупность всех объектов, на которое распространяется это понятие, к которым оно может быть применено. Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот.

• 
  Слайд 7

  Закон обратного отношения

  Чем уже объем понятия, тем шире его содержание; Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.

• 
  Слайд 8

  Родовидовое отношение между понятиями

  Если объем одного понятия входит в объем другого понятия, то понятие с меньшим объемом называется «видовым», понятие с большим объемом называется «родовым». Если в понятие входит только один элемент, оно называется «единичным»

• 
  Слайд 9

  Виды понятий(по соотношению объемов)

  Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия). Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы Равнозначныминазываются понятия, объемы которых полностью совпадают. Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают. Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

• 
  Слайд 10

  Характеристики признаков понятия

  Пусть понятие А включает класс объектов Х Признак а называется необходимым или основным признаком понятия А, если признаком а обладает любой объект из Х. Признак а называется отделимым признаком понятия А, если признаком а обладают только некоторые объекты из Х. Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если признаком а не обладает ни один объект из Х.

• 
  Слайд 11

  Конструирование новых понятий

  Осуществляется с помощью трех логических операций: обобщения, ограничения, классификации.

• 
  Слайд 12

  Обобщение понятий

  Обобщение понятия – логическая операция конструирования нового понятия с большим объемом, чем данное (т.е. переход от видового к родовому понятию). Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие, называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределяемому понятию, описываемому через категории.

• 
  Слайд 13

  Ограничение понятий

  Ограничением понятий - логическая операция конструирования нового понятия с меньшим объемом, чем данное (т.е. переход от родового к видовому понятию). Ограничение понятия происходит добавлением к содержанию понятия отделяемого признака до тех пор, пока не получим единичное понятие, не имеющее отделяемого признака.

• 
  Слайд 14

  Классификация понятий

  Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств) Классификации считается правильной, если: признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации; понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые; сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия; в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

• 
  Слайд 15

  Виды классификаций

  дихотомическая( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия; иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием; последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям. При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

• 
  Слайд 16

  Определение понятия

  Трактовки термина «определение понятия»: логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание нового понятия через перечисление его существенных признаков; математическое предложение, в котором раскрывается содержание понятия через перечисление совокупности условий, необходимых, и достаточных для отделения класса объектов, принадлежащих какому-либо понятию, и вводится термин, обозначающий выделенный класс.

• 
  Слайд 17

  Что значит определить понятие?

  С точки зрения логической операции – это значит свести его к уже известным понятиям и тем самым раскрыть его содержание. В результате этой операции и появляется математическое предложение, именуемое как определение понятия.

• 
  Слайд 18

  Типы определения понятия

• 
  Слайд 19
  

  Остенсивное определение – описание объекта с помощью модели через показ, демонстрацию. Вербальное определение – описание объекта словами. Явное определение – прямое указание на существенные признаки понятия. Определяемое и определяющее понятия выражены четко и однозначно. Неявное определение - не содержит четкого и однозначного определяющего элемента, содержание определяемого понятия устанавливается через контекст (описание).

• 
  Слайд 20

  Структура определений понятия

  конъюнктивная структура – в определении все признаки связаны союзом «и»; дизъюнктивная структура – в определении признаки связаны союзом «или»; импликативнаяструктура – в определении признаки связаны отношением следования (в терминах «если …, то…»)

• 
  Слайд 21

  Виды определений(в зависимости от определяемого объекта)

  Номинальные определения – вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл ранее введенных объектов. Реальныеопределения – фиксируются свойства новых определяемых объектов.

• 
  Слайд 22

  Виды определений(в зависимости от способа выделения видовых отличий)

  Характеристические определения, в которых указывается ближайший род и перечисляются видовые отличия понятия. Генетические (конструктивные) определения, в которых описывается или указывается способ происхождения или образования понятия. Рекурсивные (индуктивные) определения, в которых указываются исходные (базисные) объекты некоторого множества и правила, позволяющие получать другие объекты этого же множества. Условные определения, в которых вводится некоторое соглашение, суть договоренность.

• 
  Слайд 23

  Формально-логические требования корректности определений

  признаков должно быть достаточно, чтобы отделять данное понятие от других; количество признаков должно быть минимальным для отделения данного понятия; признаки должны быть независимыми.

• 
  Слайд 24

  Логико – математический анализ определения понятия

  определение способа получения нового понятия; определение типа и вида определения; определение структуры определения; раскрытие математического содержания каждого элемента определения (термин, род, видовые отличия); определение корректности определения.

• 
  Слайд 25

  Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны

  Конструируется с помощью ограничения: к свойствам прямоугольника добавляется отделимый признак равенства всех сторон. Определение явное и реальное: с помощью слов фиксируются свойства квадрата. Структура конъюнктивная: признаки соединены союзом «и». Ближайший род – прямоугольник. Видовые отличия задаются перечислением: все стороны равны. Определение не вполне корректное: избыточное.

• 
  Слайд 26

  Формирование понятия – длительный процесс

  Начальные этапы работы с понятием Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания. Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, установление связей с субъектным опытом ребенка, мотивация. Введение понятия и его определения - организация знакомства и первичное усвоение понятия и его определения учащимися.

• 
  Слайд 27

  Введение понятия и его определения

• 
  Слайд 28

  Схема применения конкретно- индуктивного метода

  анализируется эмпирический материал, при этом привлекаются такие мыслительные операции как сравнение, классификация, абстрагирование; через обобщение выделяются признаки, характеризующие новое понятие; на основе синтеза конструируется формулировка определения, вводится термин, обозначающий понятие; рассматриваются примеры и контрпримеры; понятие и его определение усваивается в процессе его дальнейшего применения.

• 
  Слайд 29

  Схема применения абстрактно- дедуктивного метода

  формулируется принятое в науке (или учебнике) определение нового понятия; через рассмотрение частных примеров и контрпримеров осуществляется конкретизация определения; понятие и его определение усваиваются в процессе дальнейшего применения.

• 
  Слайд 30

  Усвоение понятия

• 
  Слайд 31
  

  Раздельный метод – сначала происходит запоминание формулировки определения. А затем формируется навык ее применения. Компактный метод – запоминание формулировки происходит одновременно с приобретением навыка по ее применению. Алгоритмический метод – запоминание и формирование навыка происходят в процессе выполнения предписаний алгоритма.

• 
  Слайд 32
  

  Этапы организации усвоения понятия (в соответствии с концепцией обогащающей модели обучения М.А. Холодной)

  Мотивировка - создание условий для осознания учащимися недостаточности их прошлого математического опыта. Категоризация – введение знаково-символического обозначения нового понятия, ориентация ребенка на выделение отличительных признаков соответствующего понятия. Обогащение – накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания. Перенос –применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания. Свертывание – представление образа понятия в сжатой форме.

• 
  Слайд 33
  

  Организация обучения учащихся работе с понятиями ( в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина )

  формирование мотивации введения нового понятия; представление основного содержания подлежащего усвоению понятия в краткой схематической форме, т.е. создание ООД; организация работы учащихся с понятиями, позволяющей контролировать и ее ход, и ее результат; организация постепенного перехода от пошагового контроля к самоконтролю.

• 
  Слайд 34

  Основные приемы действий с определениями понятий

  Подведение объекта под понятие – распознавание объектов, принадлежащих объему данного понятия, установление факта возможности называть объект связанным с понятием термином. Выведение следствий из определения понятия – наделение конкретного объекта, именуемого термином, связанным с понятием, всеми характеристическими свойствами понятия, выделенными в определении.

• 
  Слайд 35

  Система упражнений, направленная на формирование понятий

  Задачи и упражнения – основное средство формирования понятий. Системообразущий фактор Этапы формирования понятия (система Г.И. Саранцева) Структура понятийной познавательной деятельности (система М.А. Холодной)

• 
  Слайд 36

  Система задач Г.И. Саранцева

  на мотивацию (практического характера); на построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам; на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия; на выделение следствий из определения понятия; на дополнение условий (для распознавания и выведения следствий)на составление родословной понятия; на применение понятий в разных ситуациях; на систематизацию понятий.

• 
  Слайд 37

  Система задач М.А. Холодной

  на формирования способности к словесно-образному переводу разной степени общности; на выделение признаков усвояемого понятия; на включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями; на развитие мыслительных операций. лежащих в основе образования понятия; на подключение предметного опыта учащихся.

• 
  Слайд 38
  

  Благодарю за внимание!