Презентация на тему "Задачи планиметрии" 9 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Планиметрические задачи на ЕГЭ

• 
  Слайд 2

  Дополнительный теоретический материал

  В треугольнике со сторонами a, b, c расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований (средней линии).

• 
  Слайд 3
  

  Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является равнобедренной.

• 
  Слайд 4
  

  Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам трапеции. При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой. При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону. Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов Rиr(R≥r)равно R+rпри внешем касании и R-rпри внутреннем.

• 
  Слайд 5
  

  Пересекающиеся в точка А и В окружности имеют общую хорду АВ. Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника

• 
  Слайд 6
  

  Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника. Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям). Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.

• 
  Слайд 7
  

  Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие, отсекает от него треугольник, подобный данному. Если р - полупериметр треугольника, ra - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны равной a, то S = (p-a)ra Расстояние между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей находится по формуле

• 
  Слайд 8

  Опорные задачи

  Отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов Rи rравен Пусть в треугольнике АВС проведены высоты АК, и СМ, тогда треугольник ВКМ подобен данному с коэффициентом подобия, равным |cos B| Пусть О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, тогда

• 
  Слайд 9

  ЕГЭ 2010 года

  • В треугольнике ABC АВ =12, ВС = 5, СА = 10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. • В треугольнике со сторонами а, Ь, с расстояние от вершины А до точек касания вписанной окружности сторон, содержащих эту вершину, равно Решение Пусть AD = d, BD = x, DC = у. Тогда для окружности вписанной в треугольник ADC имеем

• 
  Слайд 10
  

  А для окружности вписанной в треугольник ADB Поскольку в условии сказано, что точка D лежит на прямой ВС, то существует два ее положения, при которых будет выполняться условие BD: DC = 4:9. Соответственно, существует два рисунка, удовлетворяющих условию задачи.

• 
  Слайд 11
  

  Пусть точка D лежит на отрезке ВС (рис.а). Тогда Значит, 2. Пусть точка D лежит вне отрезка ВС (рис. б). Тогда х = 4, у = х + ВС = = 9. Значит, Случай расположения точки D правее точки С невозможен. Замечание.Так как в решении не исследовано расположение точек Е и F на отрезке AD, то при вычислении длины отрезка EF использован знак модуля. Ответ:  

• 
  Слайд 12
  

  Вариант пробного платного ЕГЭНа стороне CD квадрата ABCD построенравнобедренный прямоугольный треугольник CPD с гипотенузой CD. Найдите высоту треугольника АВР, проведенную из А, если сторона квадрата равна 4.

  Дано: AB=4, CP=PD, AK-высота. Найти: АК А В С D Р

• 
  Слайд 13

  Решение

  Первый случай, когда точка Р лежит вне квадрата АВСD: 1. CD= 4, значит CP=PD= 2. Рассмотрим треугольник ВСР, в нем ВС=4, СР= По теореме косинусов находим АР= 3. Проведем высоту РН в равнобедренном треугольнике АВР, так как РН = 6, то из формулы площади треугольника найдем АК АК=

• 
  Слайд 14

  Второй случай когда точка Р лежит внутри квадрата:

  Точка Р совпадет с точкой пересечения диагоналей, поэтому высотой треугольника АВР будет катет АР= Ответ :

• 
  Слайд 15
  

  Диагностическая работа от 20.10.10Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S.

• 
  Слайд 16

  Решение

  Первый случай, когда окружность касается нижнего основания: По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки получаем, что СN=9, ND=16, KD=16. Треугольник OKD – прямоугольный, поэтому OD=20. Треугольники OKD иHMD подобны по двум углам, поэтому составим отношение Пусть MH= у, тогда DH=8-у, находим у=3

• 
  Слайд 17
  

  Второй случай, когда окружность касается верхнего основания. По теореме Пифагора найдем ОС = 15. Также используя отношение сторон подобных треугольников получаем пропорцию То есть у = Ответ: 3 и

• 
  Слайд 18
  

  Диагностическая работа от 9.12.10Расстояние между параллельными прямыми равно 12. на одной из них лежит точка С , а на другой – точки А и В, причем треугольник АВС – остроугольный равнобедренный и его боковая сторона равна 13. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

• 
  Слайд 19

  Решение

  Первый случай, когда С – вершина равнобедренного треугольника. По условию СН = 12, АС = 13, треугольник АВС- равнобедренный, поэтому АН = 5, значит, АВ=10. Из формул площади треугольника выразим радиус То есть

• 
  Слайд 20
  

  Второй случай, когда АС= АВ=13, СН=12 1. По теореме Пифагора АН=5, значит НВ=8, 2. Подставив в формулу получаем Ответ:

• 
  Слайд 21
  

  Ященко и Со (30 вариантов-2011)В параллелограмме АВСDбиссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM:MN=1:3. Найти ВС, если АВ=6.

• 
  Слайд 22

  Решение

  Первый случай, когда точки MиN лежат на отрезке ВС, считая от вершины В соответственно По свойству биссектрисы параллелограмма получаем АВ=ВМ=NC=CD=6. Так какBM:MN=1:3, то MN=18, значит ВС=30. Второй случай, когда биссектрисы пересекаются в параллелограмме Тогда BN=CM=6, пусть ВМ=х, MN=3x х+3х=6, то есть х=1,5, значит ВС=7,5. Ответ: 30 и 7,5.

• 
  Слайд 23
  

  Ященко и Со (30 вариантов - 2011)Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине 15/17. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон вдвое больше другой.

• 
  Слайд 24

  Решение

  Первый случай, когда большая сторона прямоугольника лежит на основании. По теореме косинусов находим АВ = . По теореме Пифагора находим BD = 80. Пусть KN=2x, KD=x, LK=x. Рассмотрим треугольники ABD и LBP , они подобны по двум углам, поэтому находим х=16, значит, S=512.

• 
  Слайд 25
  

  Во втором случае на основании треугольника лежит меньшая сторона прямоугольника, тогда Пусть KN=x, KD=0,5x, LK=2x. Подставив в пропорцию получим Получаем х=20, значит S=800. Ответ: 512 и 800.

• 
  Слайд 26
  

  Ященко и Со (30 вариантов – 2011)Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжения других его сторон.

• 
  Слайд 27

  Решение

  Пусть ВС = a,АС = b, - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны AC, - радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС. Треугольники ВОК и ВСD подобны, значит, Подставим известные величины и выразим а через b Применив теорему Пифагора получаем АС=15, АВ=19,5

• 
  Слайд 28
  

  5. Применив свойство отрезка касательной к вневписанной окружности, получаем ВМ = 0,5 (19,5∙2+15)=27 6. Из формулы площади треугольника находим радиусы вневписанных окружностей Ответ: 18 и 11,25

• 
  Слайд 29
  

  Основные свойства и утверждения о взаимном расположении окружностей, о взаимном расположении прямой и окружности.

• 
  Слайд 30
  

  Если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой P O O1 O1 O P a) б)

• 
  Слайд 31
  

  R d Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностей O O1 P d R r d = R+r a) r б) d = R-r

• 
  Слайд 32
  

  Касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности или ее дуги, проведенному в точку касания R O A a a ┴ OA

• 
  Слайд 33
  

  Задача 1. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

• 
  Слайд 34
  

  Решение I.Случай, когда искомая окружность касается стороне АВ квадрата АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через х. Рассмотрим три случая: Рис. 1, а. а) Соединим центр окружности О с центром полуокружности О1 и с центром дуги А. D В С А O K M N K1 O1 б) Опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и ОN на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники АМО и ОО1N.

• 
  Слайд 35
  

  Из прямоугольного треугольника АМО следует, что неизвестный катет АМ равен , то есть АМ= или АМ= . Теперь рассмотрим треугольник ОО1N, в котором гипотенуза OO1= OK1+ K1O1 = ,катет ОN = МN – ОМ = а – х и катет О1N = DN –D О1, где DN= АМ= и D О1 = поэтому О1N = . По теореме Пифагора находим OO12 = ОN2 + О1N 2 . Подставляя найденные выражения для OO1, ОNи О1N в выше написанное уравнение имеем откуда получаем искомый радиус х = OK =

• 
  Слайд 36
  

  Он равен ОМ = II. Случай, когда искомая окружность касается стороне ВС (Рис. 1, б). Обозначим радиус этой окружности через у . Сделаем необходимые дополнительные построения и получаем прямоугольные треугольники АОМ и О1ОN. Из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора найдем катет ОМ. = Аналогично найдем из прямоугольного треугольника О1ОN катет ОN = = Подставляя найденные значения величин ОМ и ОNв соотношение ВС=ОМ+ОN, получаем а = + Рис. 1, б. Решая это уравнение, находим y = OK = K K 2 D В С А O1 N M K 1 O

• 
  Слайд 37
  

  Рис. 1, в. III. Искомая окружность касается стороне DC (Рис.1, в).Обозначим радиус этой окружности через z. Опустим из центра О искомой окружности перпендикуляры ОМ и ОN соответственно на стороны АВ и CDквадрата АВСD и соединим центр О с центром полуокружности О1 и с вершиной А квадрата АВСD . Из полученного при этом построении прямоугольного треугольника ОО1N по теореме Пифагора имеем О1N = = Следовательно, катет АМ прямоугольного треугольника АМО равен . Из соотношения АO 2 = АМ2 + ОМ 2получаем откуда и находится искомый радиус z = OK = D В С А O K M N K 1 O1

• 
  Слайд 38

  Задача 2

  Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На радиусах АО и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О1 на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О1В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.

• 
  Слайд 39

  Решение.

  а) Рис.2 б) A O B K1 O4 K3 K2 O4 A O B K2 K1 K3 N M K O2 O3 K O1 O3 O1 O2

• 
  Слайд 40
  

  Для решения этой задачи проведем из центров полуокружностей О1 и О2радиусы в точки касания (Рис.2,б). Радиусы О1К и О2К оба перпендикулярны касательной в одной и той же точке К и поэтому они лежат на одной прямой О1О2. Получим прямоугольный треугольник ОО1О2, из которого найдем О1О22=О1О2 + О2О2 или, так как О1О2= О2К+ О1К = О1В, О1О = ОВ - О1В = R- О1В и О2О = отсюда получаем Далее центры полуокружностей О1,О2и О3 соединим с центром окружности О4 и из центра О4 этой же окружности опустим перпендикуляры О4М и О4N на радиусы ОА и ОВ сектора АОВ. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники О1О4N и О3О4N. Высота О4N – общая для обоих этих треугольников и поэтому, применяя теорему Пифагора к этим прямоугольным треугольникам, получим следующее равенство

• 
  Слайд 41
  

  О1О42 - О3О42 =NО12– NО32, или (О1О4- О3О4) (О1О4+О3О4) =(NО1– NО3) (NО1+ NО3) . Подставив сюда значения: Следовательно, высота Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника О2О4М. Гипотенуза О2О4 = О2К2 + К2 О4 =

• 
  Слайд 42
  

  Катет О2М =ОО2 - ОМ = и катет О4М = По теореме Пифагора имеем О2О42 = О2М 2 + МО42 , или откуда

• 
  Слайд 43
  

  Задача 3. На отрезке АВ, равном R, точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на диаметрах по одну сторону от АВ построены полуокружности. С центрами в точках А и В радиусами, равными АВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке F, находящиеся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности, полуокружности, построенной на отрезке ВQ, и дуги ВF.

• 
  Слайд 44
  

  Решение. Рис. 3. Записывая теорему Пифагора для прямоугольных треугольников О1О2 Q и ВО2 Q (Рис.3), получаем (ВО2 + О1О2)(ВО2 - О1О2)=(ВQ + О1Q) (ВQ - О1Q) .Имея в виду, что ВО2 = ВК2 - О2 К2 =R - О2 К2 , О1О2 = О1К4+ К4 О2 = F O2 Q K2 K K1 K3 K4 P M A B O1 O

• 
  Слайд 45
  

  Далее, рассматривая прямоугольные треугольники О1ОМ и АОМ, имеем (АО + О1О) (АО - О1О) =( АМ + О1М) ( АМ - О1М), где АО = АК – ОК = R – ОК, Поэтому oткуда и высота Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO2 и подставить в уравнение ОО2 2 = О2P 2 + PO 2. Меньший катет О2P = О2Q - PQ, где

• 
  Слайд 46
  

  катет Отсюда получаем После необходимых преобразований находим искомый радиус

• 
  Слайд 47
  

  Задачи для самостоятельного решения

• 
  Слайд 48
  

  Рис. 4. Задача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а. Ответ: Надо рассмотреть отдельно три случая: D В С А 3 2 1

• 
  Слайд 49
  

  Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1. Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги. Ответ: Два случая: Рис. 5. 2 1

• 
  Слайд 50
  

  Задача 3. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности. Ответ: Четыре случая: Рис. 6. 3 4 2 1

• 
  Слайд 51
  

  Задача 4.Две окружности радиусов a и b (a

• 
  Слайд 52
  

  Задача 5. Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся этих двух построенных полуокружностей и одной из сторон данного квадрата. Ответ: Рис. 8.