Презентация на тему "Определённый интеграл. Введение и некоторые его приложения"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Определённый интеграл. Введение и некоторые его приложения.

• 
  Слайд 2
  

  Введение определённого интеграла

• 
  Слайд 3
  

  Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f) У= f(x) 0 x y

• 
  Слайд 4
  

  Будем рассматривать её на отрезке y У= f(x) 0 x а b

• 
  Слайд 5
  

  Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а, x = в и у = 0. Назовём её криволинейной трапецией ABCD У= f(x) 0 x Поставим задачу нахождения её площади S а b x=a B C D A x=b y=0

• 
  Слайд 6
  

  Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a

• 
  Слайд 7
  

  Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть отрезок [xi;xi+1], а смежная сторона – это отрезок f(xi) (i=0…n-1) 0 x y В С А D Криволинейная трапеция заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников x5 x6 x1 x2 x3 x4 x7 x0 xn

• 
  Слайд 8
  

  Основание i-го прямоугольника равно разности xi+1-хi, которую мы будем обозначать через Высота i-го прямоугольника равна f(xi) 0 x y В С A D x5 x6 x1 x2 x3 x4 x7 x0 xn

• 
  Слайд 9
  

  Площадь i-го прямоугольника равна: Сложив площади всех прямоугольников, получаем приближенное значение площади S криволинейной трапеции:

• 
  Слайд 10
  

  т.к площадь ступенчатой фигуры почти совпадает с площадью криволинейной трапеции: 0 x y a b 0 x y a b

• 
  Слайд 11
  

  Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех прямоугольников Для обозначения предельных сумм вида f(xi) xi немецкий учёный В.Лейбниц ввёл символ - интеграл функции f(x) от а до b

• 
  Слайд 12
  

  Если предел функции f(x) существует, то f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Числа а и b называются нижним и верхним пределом интегрирования. При постоянных пределах интегрирования определённый интеграл представляет собой определённое число.

• 
  Слайд 13
  

  Некоторые приложения определённого интеграла

• 
  Слайд 14
  

  Задача Вычислить площадь фигуры F, ограниченной линиями y= 4-x2и y= x2-2x 1) Площадь плоской фигуры

• 
  Слайд 15

  Решим задачу по следующему алгоритму:

  Построим фигуру F. Для этого построим линии, ограничивающие эту фигуру D 2 1 B C A 4 Y A1 0 -2 -1 X

• 
  Слайд 16
  

  Найдем точки пересечения этих парабол A(-1;3); B(2;0) Искомую площадь Sfможно найти как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций

• 
  Слайд 17
  
• 
  Слайд 18
  

  2) Объем тела вращения Пусть тело образуется при вращении вокруг оси OX криволинейной трапеции x1ABx2 Любое сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате точки кривой Y=f(x) Площадь сечения S(x) равна y2, т.е. S(x)=f2(x) Объем тела вращения может быть вычислен по формуле

• 
  Слайд 19
  

  ЗАДАЧА Вычислить объем шара, получаемого вращением полуокружности вокруг осиOX Построим полуокружность y X R -R R При вращении этой полуокружности вокруг OX получается сфера, ограничивающая шар. Объем шара найдем по формуле Ответ: Объем шара(куб.ед.)

• 
  Слайд 20

  Прикладная математика

  Авторские права принадлежат НОУ «Колледж Мосэнерго»