Презентация на тему "Интеграл и первообразная"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  _______ _ _____________ pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Содержание

  1. Первообразная 1.1. Определение первообразной 1.2. Основное свойство первообразной 1.3. Три правила нахождения первообразной 1.6. Таблица 2. Интеграл 2.1. Площадь криволинейной трапеции 2.2. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

• 
  Слайд 3

  1. Первообразная1.1. Определение первообразной

  Определение: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F’(x) = f(x)

• 
  Слайд 4

  1.2 основное свойство первообразной

  общий вид первообразных. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Признак постоянства функции. Если F’(x) =0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянна на этом промежутке. Доказательство. Зафиксируем некоторое х0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число с, заключенное между х и х0 , что F(x)-F’(c) = F’(c)(x-x0). По условию F’(c)=0, так как сI, следовательно, F(x)-F(x0) = 0. Итак, для всех х из промежутка I F(x) = F(x0), т.е. функция F сохраняет постоянное значение. (продолжение следует)

• 
  Слайд 5

  Основное свойство первообразной…

  Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных): Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке Iможет быть записана в виде F(x) + C, Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

• 
  Слайд 6

  Основное свойство первообразной

  Свойства первообразных 1) какое бы число ни поставить в выражение F(x)+C вместо С, получимпервообразную для f на промежутке I. 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C. Доказательство. 1) по условию функции F – первообразная для fна промежутке I. Следовательно, F’(x)=f(x) для любого хI, поэтому (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x), т.е. F(X) + C – первообразная для f. 2) пусть Ф(х) – одна из первообразных для функции fна том же промежутке I, т.е. Ф’(x)=f(x) для всех х I. Тогда (Ф(х) - F(x))’ = Ф’(x) - F’(x) = f(x) - f(x) = 0 Отсюда следует в силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) F(x) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I. Таким образом, для всех х из промежутка Iсправедливо равенство Ф(х) - F(x) = C, что и требовалось доказать.

• 
  Слайд 7

  1.3 три правила нахождения первообразных

  Правило 1. если F есть первообразная для f, а для G – первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Действительно, так как F’=f и G’=g, по правилу вычисления производной суммы имеем: (F+G)’ = F’ + G’ = f + g. Правило 2. если F есть первообразная для f, а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf. Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому: (kF)’ = kF’ = kf. Правило 3.если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k=0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b). Действительно, по правилу вычисления производной сложной функции имеем: ( F (kx + b))’ = F’(kx + b)*k=f (kx + b)

• 
  Слайд 8

  интеграл2.1. площадь криволинейной трапеции

  Пусть на отрезке [a; b] оси оХ задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямых х = а и х = b, называют криволинейной трапецией. Теорема. Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, a F - ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b] , т.е. S=F(b)-F(a). Доказательство. Рассмотрим функциюS(x), определенную на отрезке [a; b]. Если a

• 
  Слайд 9

  2.1площадь криволинейной трапеции…

  Рис.1 y x 0 1 1 a b Xo

• 
  Слайд 10

  2.1 площади криволинейной трапеции…

  Пусть Хo принадлежит [a,b]. f(x) непрерывна в Xo. Тогда в достаточно малой окрестности в точке Xo функцию f(x) можно считатьпостоянной и равной f(Xo). Тогда прирощение равно площади приближенно равно: f(x)x S : x = f(x) Если x 0, S : x S’(Xo) S’(Xo) = f(Xo) т.е S - первообразная функции f в точке Xo

• 
  Слайд 11

  2.1площаль криволинейной трапеции

  Получили, что Sесть первообразная для f. Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х [a; b] имеем: S(x) = F(x) + C, Где С - некоторая постоянная, а F – одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а: F(a) + C=S(a)=0, Откуда С= -F(a). Следовательно, S(x) = F(x) - F(a). Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S(b), подставляя х = bв формулу S(x)+F(x)-F(a), получим: S = S(b) = F(b) - F(a).

• 
  Слайд 12

  2.2Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

  Понятие об интеграле. Пусть функция fнеотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда площадь S соответствующей криволинейной трапеции можно приближенно подсчитать следующим образом. Разобьем отрезок [a; b] на nотрезков одинаковой длины точками x0 = a

• 
  Слайд 13

  2.2

  Рис.2 X1 X2 Xn-1 y x

• 
  Слайд 14
  

  Для любой непрерывной функции на отрезке[a,b] доказано, что Sn S к некоторому числу. Это число называют интегралом функции . f(x)d(x), где f(x) подинтегральная функция, a – нижний предел интегрирования, b- верхний, - интеграл, x – переменная. Интеграл – это предел интегрированяи сумм. Сравнивая S= F(b) – F(a) и S= f(x)dx, можно записать

• 
  Слайд 15
  

  Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Она верна для любой функции f, непрерывной на отрезке [a; b].

• 
  Слайд 16

  1.6Таблица первообразных

• 
  Слайд 17