Презентация на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Перпендикулярность прямой и плоскости

• 
  Слайд 2

  Перпендикулярные прямые в пространстве

  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: а ⊥b. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На этом рисунке перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся

• 
  Слайд 3
  

  ЛеммаЕсли одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к этой прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой

  Дано: а⃦b и а ⊥ с.Доказать: b⊥c. Доказательство: Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведём прямые а и с. Т.к. а ⊥с, то ∠АМС =90°Т.к. а⃦b , а⃦МА, то b ⃦ МА.Итак, b ⃦ МА, с⃦ МС, ∠ АМС = 90°, т. е. b⊥c.Лемма доказана.

• 
  Слайд 4

  Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

  Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой a и плоскости α обозначается так: а ⊥α.

• 
  Слайд 5
  

  Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

  Дано: а ║а1, а ⊥ α. Доказать:а 1║ α Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскостиα. Так как а перпендикулярнаα, то аперпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьейа1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярнак любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1 перпендикулярнаα. Теорема доказана.  

• 
  Слайд 6
  

  Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

  Дано: a ⊥α,b⊥α (а) Доказать :a║b . Доказательство: Через какую-нибудь точку M прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой a. По предыдущей теореме b1 ⊥α.Докажем ,что прямая b1 совпадает с прямой b.Тем самым будет доказано ,что a║b .Допустим ,что прямые b и b1не совпадают .Тогда в плоскости β,содержащей прямыеb и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c,по которой пересекаются плоскости α и β (б).Но это невозможно, следовательно, a║b. Теорема доказана.

• 
  Слайд 7

  Признак перпендикулярности прямой и плоскости

  Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано:а ⊥р, а ⊥q, р иqлежат в плоскости α. р⋂q=О. Доказать:а ┴ α Доказательство: Рассмотрим случай, когда прямая а проходит через т. О(рис. а). Проведём через т.О прямую l, параллельную прямой m . Отметим на прямой а точки А и В, чтобы АО=ОВ, и проведём в плоскости α прямую, пересекающие прямые р, q, иl соответственно в т. Р, Q, и L. Т.к. р и q – серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, ΔАРQ= ΔВРQ по трём сторонам, поэтому углы АРQ и ВРQ равны ΔАРL= ΔВРL, поэтому АL=BL. Следовательно ΔАВL-равнобедренный и l ⊥а. Т.к. l ║m, l ⊥ а, то m ⊥а. Итак а⊥α. Рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через т.О. Проведём через т.О прямую а, а1 ║а. По лемме а1⊥р и а1⊥q, поэтому а1⊥α. Отсюда, а⊥α. Теорема доказана.

• 
  Слайд 8

  Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

  Теорема:Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна. Доказательство: Данную плоскость обозначим α, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем: 1) через точку М проходит прямая, перпенди-1ярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна. Проведем в плоскости α произвольную прямую а и рассмотрим плоскостьβ, проходящую че-; точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости α и β. В плоскости β через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямойb. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости α, т.к. перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с ⊥b по по построению и с ⊥а, так как (β⊥α). 2)Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее черезс1), перпендикулярная к плоскости α. Тогда с1 ║ с , что невозможно, т. к. прямые с1 и с пересекаются в точке М. Т.о., через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная плоскостиα. Теорема доказана.

• 
  Слайд 9

  Авторы:

  Александрова Аня 10Б Васильева Катя 10Б Васильева Надя 10Б Гаврилова Настя 10Б Егорова Люда 10Б Научный консультант : учитель математики СОШ №6 г.Чебоксары Маркова З.Г. 2008г