Презентация на тему "Перпендикулярность в пространстве"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Перпендикулярность прямой и плоскости Князев Владимир Ученик 10 класса “A” Школы № 1254 Выполнил: pptcloud.ru

• 
  Слайд 2
  

  Перпендикулярные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) , если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых aи b обозначается так: ab. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.На рисунке 1 перпендикулярные прямые a и b пересекаются, а перпендикулярные прямые a и c скрещивающиеся. a b c 90° Рис. 1

• 
  Слайд 3
  

  Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой , то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой Лемма: Доказательство: Пусть a || b и ab. Докажем, что b  c. Через произвольную т. М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым a и c. Так как a  c, то AMC = 90°. По условию b || а,а по построению а|| МА,поэтому b ||МА.Итак,прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС,угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми bи с также равен 90°, т. е.b  c. Рис. 2 b a C A M c

• 
  Слайд 4
  

  Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости. Перпендикулярность прямой а и плоскости α обозначается так: а  α. Если прямая а перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая ане пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости α имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость α.

• 
  Слайд 5
  

  На рисунке 3 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости α. Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д. α a Рис. 3

• 
  Слайд 6
  

  Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Рассмотрим две параллельные прямые а и b и плоскость α, такую, что аα. Докажем, что и b  α. Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рисунок 4). Так как а α, то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей b  х. Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. b  α. Доказательство: Рис. 4 α a b x

• 
  Слайд 7
  

  Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости α (рисунок 5,a). Докажем, что а || b. Через какую-нибудь т.M прямой b проведем прямую q, параллельную прямойа. По предыдущей теореме q  α. Докажем, что прямая q совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а|| b. Допустим, что прямые b и q не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и q, через т. M проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости α и β(рисунок 5, б). Но это невозможно, следовательно а || b. Доказательство: Рис. 5, а α a q Рис. 5, b α a M c b b