Презентация на тему "Прикладная математика и иформатика"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Донецкий Национальный Технический УниверситетФакультет Вычислительной ТехникиКафедра Прикладной Математики и ИнформатикиСпециальность «Программное обеспечение автоматизированных систем»

• 
  Слайд 2

  Метод Гаусса решения СЛАУ.Модификации.Варианты распараллеливания

  Докладчик: Кожухов А.Е.

• 
  Слайд 3

  ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

• 
  Слайд 4

  Задание СЛАУ

  или

• 
  Слайд 5
  

  При матричном задании СЛАУ имеют место обозначения: А – матрица коэффициентов системы; b – вектор свободных членов уравнений системы; x – вектор неизвестных величин системы.

• 
  Слайд 6

  Задачи, сводимые к решению СЛАУ

  К решению систем линейных алгебраических уравнений сводимы задачи из многих областей физики:  электромагнитной теории; электродинамики; теплопередачи; диффузии; квантовой механики.

• 
  Слайд 7
  

  Особенности постановки задач: являются конечно–разностными или конечно–элементными моделями; задаются дифференциальными уравнениями с начальными или краевыми условиями.

• 
  Слайд 8

  Классы методов решения СЛАУ

  Прямые методы: а) метод Холесского для плотных матриц; б) метод Холесского для ленточных матриц; в) метод вычисления явного обращение матриц; г) метод Холесского для разреженных матриц; д) метод быстрого преобразования Фурье; е) метод блочно–циклической редукции; ж) метод исключения Гаусса.

• 
  Слайд 9
  

  Итерационные методы: а) метод Якоби; б) метод Гаусса–Зейделя; в) метод сопряжённых градиентов; г) метод последовательной верхней релаксации; д) метод ускорения Чебышева с симметричной последовательной верхней релаксации; е) многосеточный метод.

• 
  Слайд 10

  МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ГАУССА

• 
  Слайд 11

  Шаг прямого хода

  Деление коэффициентов текущего уравнения на коэффициент при исключаемой переменной:

• 
  Слайд 12
  

  Для всех уравнений со 2–ого по n–ое выполнить действия: умножение обеих частей 1–ого уравнения на взятый с обратным знаком коэффициент при первом члене текущего уравнения; сложение результатов предыдущей операции с коэффициентами и свободным членом текущего уравнения.

• 
  Слайд 13
  

  Из уравнений со 2–ого по n–ое можно составить эквивалентную исходной систему уравнений, но с количеством неизвестных (n–1). На k–ом шаге рассматривается система из (n–k+1) уравнений с (n–k+1) неизвестными. Выполнив очередной шаг метода Гаусса по отношению к этой системе уравнений, получим систему с (n–k+1). После выполнения n шагов метода Гаусса матрица коэффициентов системы уравнений будет верхней треугольной

• 
  Слайд 14

  Результат выполнения прямого хода метода Гаусса

  …

• 
  Слайд 15
  

  Обратный ход метода Гаусса – вычисление значений переменных, начиная с xnдо x1.

• 
  Слайд 16

  МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ГАУССА

• 
  Слайд 17

  Метод Гаусса в матричной форме

  Пусть задана исходная система уравнений. Тогда на исключение неизвестной xiиз уравнений системы осуществляется следующим образом: умножением матрицы коэффициентов A(i) слева на диагональную матрицу Di; умножением Di* A(i) слева на матрицу Qi.

• 
  Слайд 18
  
• 
  Слайд 19
  
• 
  Слайд 20
  

  Осуществление i–ого шага метода Гаусса в матричной форме имеет вид: L1 * A(i)x = L1 * b(i). Полная последовательность операций матричного умножения по исключению переменных имеет вид: Li*…*L2*L1 * A * x = Li*…*L2*L1 * b. Произведение U = Ln*…*L2*L1 * A является верхней треугольной матрицей с единичной главной диагональю. Произведение L = L-11*L-12*…*L-1n является нижней треугольной матрицей.