Презентация на тему "Ряды Фурье для четных и нечетных функций"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  15.4. РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ Разложение в ряд Фурье возможно для функций, удовлетворяющих условию теоремы, сформулированной в предыдущем параграфе. Для четных и нечетный функций разложение в ряд Фурье существенно упрощается.

• 
  Слайд 2
  

  Пусть функция f(x) определена и является нечетной на отрезке [-П,П]: Найдем коэффициенты разложения:

• 
  Слайд 3
  

  В первом интеграле делаем замену:

• 
  Слайд 4
  

  Тогда

• 
  Слайд 5
  
• 
  Слайд 6
  

  Таким образом, нечетная на отрезке [-П,П] функция f(x) будет разлагаться в ряд Фурье следующим образом:

• 
  Слайд 7
  

  Пусть функция f(x) определена и является четной на отрезке [-П,П]: Найдем коэффициенты разложения:

• 
  Слайд 8
  

  В первом интеграле делаем замену:

• 
  Слайд 9
  

  Тогда

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  

  Таким образом, четная на отрезке [-П,П] функция f(x) будет разлагаться в ряд Фурье следующим образом:

• 
  Слайд 12
  

  ПРИМЕРЫ. 1 Разложить в ряд Фурье функцию

• 
  Слайд 13
  

  РЕШЕНИЕ. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Она является нечетной на отрезке [-П,П], поэтому

• 
  Слайд 14
  

  Интеграл берем по частям:

• 
  Слайд 15
  

  Тогда ряд Фурье для данной функции будет иметь вид:

• 
  Слайд 16
  

  2 Разложить в ряд Фурье функцию

• 
  Слайд 17
  

  РЕШЕНИЕ. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Она является четной на отрезке [-П,П], поэтому При n=0:

• 
  Слайд 18
  

  При n=1, 2, 3…: Интеграл берем по частям:

• 
  Слайд 19
  

  Оставшийся интеграл снова берем по частям:

• 
  Слайд 20
  

  Тогда ряд Фурье для данной функции будет иметь вид: