Презентация на тему "Функции и их графики"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Функции и их графики Содержание pptcloud.ru

• 
  Слайд 2
  

  Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции Содержание Понятие функции Общие свойства функции Понятие обратной функции Непрерывность Элементарные функции Введение

• 
  Слайд 3
  

  При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объём, массу, температуру, время и т.д. В зависимости от рассматриваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения, у других эти значения переменные. Такие величины соответственно называются постоянными и переменными. Математика изучает зависимость между переменными в процессе их изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его площадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависимости от изменения его радиуса. Математическим выражением взаимной связи реальных величин является идея функциональной зависимости. Понятие функции – важнейшее понятие математики. Слово «функция» (от латинского «Functio» - исполнение обязанностей, деятельность) впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц. Введение на главную

• 
  Слайд 4
  

  Понятие функции Пусть D и E – непустые числовые множества, а x и y – соответственно их элементы. Если каждому xÎD(x принадлежит множеству D) ставится, в соответствии с некоторым законом, только одно значение yÎE, то говорят, что между переменными x и y существует функциональная зависимость, и x называют независимой переменной (или аргументом), а y – зависимой переменной (или функцией). Символическая запись функции: y = f(x)(xÎD, yÎE). Множество Dназывают областью определения функции и обозначают D(f), а множество Eназывают областью изменения функции – E(f). Говорят еще, что функция f отображает множество D на множестве E. на главную

• 
  Слайд 5
  

  Общие свойства функции Четность и нечетность на главную Периодичность Нули функции Промежутки знакопостоянства Монотонность

• 
  Слайд 6
  

  Четность и нечетность Определение: Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x). Примеры четных функций: y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = ½x½; y = 3. (y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = y(-1)).   Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат: y x O x0 - x0 f(x0) f(-x0) y = f(x) назад далее

• 
  Слайд 7
  

  Определение: Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого значения x, взятого из области определения функции, значение –xтакже принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x). Примеры нечетных функций: y = x3; y = x3 +x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). График нечетной функции симметричен относительно начала координат: y x x0 - x0 f(x0) f(-x0) O y = f(x) далее назад

• 
  Слайд 8
  

  При построении графиков четной и нечетной функции достаточно построить только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции. Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию. Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Пример: y = x3 + x2 y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0 y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 = 2 назад

• 
  Слайд 9
  

  Периодичность Определение: Функция y = f(x)называется периодической, если существует такое число T¹0, что для любого значения x, взятого из области определения, значения x + T и x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x – T): y x O 1 2 4 3 -1 T y = f(x) далее назад

• 
  Слайд 10
  

  Число T называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное число периодов.В самом деле, числа вида nTпри любом целом nтакже являются периодом функции f(x),так как f(x + nT) = f(x + (n - 1)T + T) = f(x + (n – 1)T) = f(x + (n - 2)T + T) = f(x + (n - 2)T) = … = f(x). Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению. Примеры периодических функций: y = sin x; y = ctg x; y = sin3x. Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10. назад

• 
  Слайд 11
  

  Нули функции Определение: Нулем функции называется такое действительное значение x, при котором значение функции равно нулю. x y O x1 x3 x2 y = f(x) назад Для того, чтобы найти нули функции, следует решить уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x),и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью. х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

• 
  Слайд 12
  

  Промежутки знакопостоянства Определение: Числовые промежутки, на которых непрерывная функция сохраняет свой знак и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства. Над этими промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) 0 при x > a f(x)

• 
  Слайд 13
  

  Монотонность Функцию называют монотонно возрастающей, если с увеличением аргумента значение функции увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции уменьшается. y x O y x3 x2 x1 монотонно возрастает y = f(x) y x O y = f(x) монотонно убывает y x3 x2 x1 далее назад

• 
  Слайд 14
  

  Определение: Функция y = f(x)называется монотонно возрастающей на интервале (a, b),если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1следует неравенство f(x2) > f(x1). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2> x1следует неравенство f(x2)

• 
  Слайд 15
  

  Понятие обратной функции Функция, принимающая каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой. Таким образом, при k≠0 функция f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой. Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией. Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x). на главную y x O 1 -1 -p p p/2 -p/2 y = sin x y x O 1 -1 p/2 -p/2 y = arcsin x

• 
  Слайд 16
  

  Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции Точкаx0 называется точкой максимума (точкой минимума) для функции f(x),если значение в этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках. для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстремум» (от латинского «крайний»). далее на главную

• 
  Слайд 17
  

  Определение 1. Пусть функция y = f(x)определена на отрезке[a; b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x0Î[a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x)

• 
  Слайд 18
  

  Определение 2. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x0Î [a; b], если существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0). Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеетчетыре экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b. Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума. Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке x0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума. O y x a b C1 C2 C3 C4 y = f(x) назад

• 
  Слайд 19
  

  Непрерывность Функцияy = f(x)называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке промежутка. Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции. Если при x = a функция y = f(x)существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x= a функция может существовать, а может и не существовать. О у х y = f(x) а b О х у y = f(x) а О х у y = f(x) а на главную

• 
  Слайд 20
  

  Элементарные функции Линейная Обратная пропорциональность Квадратичная Степенная Показательная Логарифмическая Тригонометрические на главную

• 
  Слайд 21
  

  Линейная функция Определение: Функция вида y = kx + b, где k и b некоторые числа, называется линейной функцией. 1. Если k = 0, тогда y = b. Эта функция определена на множестве R и для каждого Xпринимает одно и то же значение, равное b. Графиком является прямая, параллельная оси Оx и отстоящая от нее на ½b½единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b 0 y = b; b

• 
  Слайд 22
  

  2. Если b = 0, то y = kx. Линейная функция вида y = kxназывается прямой пропорциональностью. Она определена на множествеR. Функция является монотонно возрастающей, если k > 0, и монотонно убывающей, если k 0 точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k 0 O y x y = kx k

• 
  Слайд 23
  

  3. Если k¹0и b¹0, то y = kx + b. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Функция имеет единственный нуль в точке x = -b/k (т. е. график функции пересекает ось Ох в единственной точке (-b/k; 0). Функция является монотонно возрастающей при k > 0 и монотонно убывающей при k 0 O y x x1 x2 y1 y2 y = kx + b k

• 
  Слайд 24
  

  Коэффициенты k и b в уравнении линейной функции y = kx + b, имеют наглядное геометрическое толкование. Значение коэффициента b определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла a, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то образованный угол острый, если k 0 A(-b/k; 0) назад

• 
  Слайд 25
  

  Обратная пропорциональность Определение: Функция вида x = k/x, k¹0, называется обратной пропорциональностью. Область определения этой функции совпадает с ее областью значений и представляет собой объединение двух промежутков: (-¥; 0) È(0; + ¥). Функция не имеет нулей, так как уравнение k/x = 0 не имеет корней. Если k > 0 , то функция монотонно убывает на всей области определения. Если k 0 y = k / x k

• 
  Слайд 26
  

  График обратной пропорциональности называется гиперболой. Участки кривой при x > 0 и x

• 
  Слайд 27
  

  Квадратичная функция Определение: Функция вида y = ax2 + bx + c, где a, b,c – некоторые числа, a¹ 0, называется квадратичной. 1. Функция вида y = x2 – простейшая квадратичная функция. Это четная функция, у которой D = (-¥;+¥),а E = [0; +¥). При x > 0 она возрастающая, а при x

• 
  Слайд 28
  

  2. Квадратичная функция вида y = ax2также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график также парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно оси ординат. Но при a > 0 ветви ее направлены вверх и E = [0; +¥), а при a 0; ½a½ > 1 y x O 1 -1 -1 y = ax2 a

• 
  Слайд 29
  

  3. Квадратичная функция общего вида y = ax2 + bx + c также четная, неограниченная, определенная для всех действительных x. Ее график – парабола, симметричная относительно прямой x = x0 (x0 – абсцисса вершины параболы), параллельной оси ординат. Если a > 0, то ее ветви направлены вверх и E = [y0; +¥) или вниз при a

• 
  Слайд 30
  

  Если он равен нулю, то график функции касается оси в точке (-b / 2a; 0). Если дискриминант положительный, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, являющихся корнями уравнения 0= ax2 + bx + c. O y x -b/2a (0; c) y = ax2 + bx +c a > 0 O y x -b/2a (0; c) y = ax2 + bx +c a > 0 назад

• 
  Слайд 31
  

  Степенная функция Определение: Функция, заданная формулой y = xn , называется степенной. 1. При n, равном 1; 2; -1, имеем соответственно функции y = x, y = x2; y = -1 / x, уже рассмотренные ранее. 2. Если n – число целое и четное, то функция y = xn – четная; при нечетном n она нечетная. При положительных n эта функция определена для всех действительных значений аргумента x, при отрицательных n она определена для всех x, кроме x = 0. При любом n ¹0 степенная функция неограниченная, график каждой из них проходит через точку (1; 1). Если n – число иррациональное, то функция y = xn определена только для положительных значений аргумента x или для неотрицательных x, если n > 0. назад

• 
  Слайд 32
  

  Показательная функция Определение: Функция, которую можно задать формулойy = ax, a > 0, a ¹1, называется показательной. Эта функция определена для любых действительных x, а областью значений является промежуток (0; +¥). График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 1 O y x 1 y = ax 0

• 
  Слайд 33
  

  Логарифмическая функция Определение: Функция вида y = logax, где a > 0, a ¹1, называется логарифмической. Эта функция определена на промежутке (0; +¥), а областью значений является промежуток (-¥;+¥). Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 1 O y x 1 O y x 1 y = logax 0

• 
  Слайд 34
  

  Тригонометрические функции 1.Функция синус. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ½sin x½£ 1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n ÎZ: sin( x + 2pn) = sin x, n ÎZ. Функция y = sin x – нечетная: sin (-x) = -sin x ее график симметричен относительно начала координат. График этой функции называется синусоидой. Функция принимает нулевые значения При х = pn, n ÎZ. Функция y = sin x возрастает на промежутках [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn], n ÎZ и убывает на промежутках [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], n ÎZ y x O 1 -1 -p p p/2 -p/2 y = sin x 5p/2 T = 2p 3p/2 2p далее назад

• 
  Слайд 35
  

  2.Функция косинус. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = cos x, называется косинусом. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена ½cos x½£ 1. Она периодическая, ее период T = 2pn, n ÎZ: cos( x + 2pn) = cos x, n ÎZ. Функция y = cos x – четная: cos (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат. График этой функции называется косинусоидой. Функция принимает нулевые значения при х = p/2 + pn, n ÎZ. Функция y = cos x возрастает на промежутках [p + 2pn; 2p + 2pn], n ÎZ и убывает на промежутках [2pn; p + 2pn], n ÎZ y x O 1 -1 -p p p/2 -p/2 y = cos x 5p/2 T = 2p 3p/2 2p назад далее

• 
  Слайд 36
  

  3.Функция тангенс. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = tg x, называется тангенсом. Функция определена при x ¹ p/2 + pn, n ÎZ. Ее областью значений является интервал (-¥;+¥). Она периодическая, ее период T = pn, n ÎZ: tg( x + pn) = tg x, n ÎZ. Функция y = tg x – нечетная: tg (-x) = -tg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x =p/2 + pn, n ÎZ функция y = tg xне существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется тангенсоидой. Функция принимает нулевые значенияпри х = pn, n ÎZ. Функция y = tg x возрастает на всех интервалах определения (-p/2 + pn; p/2 + pn), n ÎZ. y x O 1 -1 p/2 -p/2 y = tg x p 3p/2 T = p назад далее

• 
  Слайд 37
  

  4.Функция котангенс. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = ctg x, называется котангенсом. Функция определена при x ¹ pn, n ÎZ. Ее областью значений является интервал (-¥;+¥). Она периодическая, ее период T = pn, n ÎZ: ctg( x + pn) = ctg x, n ÎZ. Функция y = ctg x – нечетная: ctg (-x) = -ctg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x =pn, n ÎZ функция y = ctg xне существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной. График этой функции называется котангенсоидой. Функция принимает нулевые значенияпри х = p/2 + pn, n ÎZ. Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения (2pn; p + pn), n ÎZ. y x O 1 -1 p/2 -p/2 y = сtg x p 3p/2 -p назад