Презентация на тему "Математический анализ"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Л.А.СТЕФУРАК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

• 
  Слайд 2
  

  монотонновозрастающая функция Функция y = f (x), заданная на некотором промежутке [a; b] , называется монотонновозрастающей(монотонноубывающей) на этом промежутке, если для пары точек промежуткаx1и x2, x1x2 выполняется f(x1)  f (x2), ( f (x1) f (x2)).

• 
  Слайд 3
  

  Пусть на отрезке [a, b]определена и непрерывна функция y= f(x) иконечная производнаяf (x) на(a, b). Тогда, для того чтобы функция y= f(x) быламонотонно возрастающей на[a, b] (монотонно убывающейна[a, b]) необходимо и достаточно, чтобы во всех точках интервала (a, b) Теорема

• 
  Слайд 4
  

  Необходимость Пусть f(x) монотонно возрастает  x и x0 , ax0xb f(x0)  f (x) при xx0 ч.т.д.

• 
  Слайд 5
  

  Достаточность Пусть f (x) 0  x (a, b). По т. Лагранжа для  [x1,x2]  [a,b] т.к.x2 > x1и f (с) 0 , то f (x2) f (x1) ч.т.д.

• 
  Слайд 6
  

  Пример. y = 3x2 – 2 x, y = 6x– 2, y=0 при  y0при x (-,),y0 при x (, ) y= f(x) убывает при x (-,) и возрастает при x (,-) . y-+x y х

• 
  Слайд 7
  

  Функция y = f (x), заданная на некотором промежутке (a, b), имеет локальный максимум(локальный минимум ) в точкеx0(a, b) , если такая окрестность точки x0, что для xиз этой окрестности (кроме точки x0) справедливо равенство: экстремум функции

• 
  Слайд 8
  

  Значение в этом случае называют значением локального максимума(локального минимума) функции. Extremum - max, min –крайние значения. maxmin y 0 x0- x0x0+ x y 0 x0- x0x0+ x

• 
  Слайд 9
  

  По т. Ферма, если функция y=f(x) непрерывнана(a, b) и достигает наибольшего значения f(x0), x0 (a, b) и конечнаяпроизводная f (x0), то f (x0) = 0. Стационарные точки Точки, принадлежащие области определения функции y = f (x), в которых производная равна нулю, называются стационарными. Необходимое условиеэкстремума функции Необходимым условием существования экстремума функции в точках, где существует конечная производная является обращение в ноль производной.

• 
  Слайд 10
  

  Точками, подозрительнымина экстремум называются точки из области определения функции, в которых производная равна нулю (стационарные точки ) или не существует. Точки, подозрительные на экстремум y y  y=0 O x x0

• 
  Слайд 11
  

  Пусть функция y=f(x) определена инепрерывнана[a, b] иконечнаяпроизводная f (x)на (a, b), которая в точке x0 (a, b) f (x0) = 0. Тогда , если f (x)при переходе через точку x0меняет знак с +на - , то в точке x0 mах с -на+ , то в точке x0 min mах min Теорема (Достаточное условиеэкстремума функции) y y yy y =0 y = 0y =0 y =0 0 x0- x0x0+x 0 x0- x0x0+x 0 x0- x0x0+x 0 x0- x0x0+ x

• 
  Слайд 12
  

  Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции . 1. x [- , ]; 2. ; 3. Находим точки подозрительныена экстремум: y=0 при x1=0, yx2=1, x3=-1,-функция определена и непрерывна. у+ -1 + 0 - 1 -х ymin(0) = -1, y -1 0 1х - промежутки монотонности. min Пример.

• 
  Слайд 13
  

  Пусть функция y=f(x)определена инепрерывнана[a, b] 1. Найти точки подозрительныена экстремум и выбираем те, которые принадлежат отрезку [a, b] . 2. Вычисляем значения функции во всех этих точках, а такжеf(a) и f(b). 3. Наибольшее из этих чисел и будет наибольшимзначениемфункции f (x) на отрезке [a, b], наименьшее из этих чисел будет наименьшимзначением функции f (x) на отрезке [a, b]. Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения функциина отрезке [a, b]. y 0 a x1 x2 x3 bx

• 
  Слайд 14
  

  Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=x4- 2x2+ 5 на отрезке [-3, 2]. Находим точки подозрительныена экстремум: y=4x3– 4x = 4x(x2– 1) = 4x(x –1) (x + 1), y=0 при x1=0, x2=1, x3=-1. f(0) =5; f(1) = 4; f(-1) = 4; f(2)=24- 22+ 5=13;f(-3)=(-3)4- (-3)2+ 5=77. Наибольшее yх=-3 = 77; наименьшее yх=-1 = yх=1= 4. Пример.

• 
  Слайд 15
  

  Выпуклость и вогнутость кривой Кривая y = f (x) в точке называется выпуклой(вогнутой), если в некоторой окрестности этой точки она лежит ниже (выше) касательной, проведенной к кривой в этой точке. Выпуклая кривая вогнутая кривая yyyy Mo Mo Mo Mo O x0 x O x0 x O x0 x O x0 x

• 
  Слайд 16
  

  Пусть на отрезке [a,b] определена и непрерывна функция y= f(x)и конечная производнаяf (x)на(a, b). Тогда, для того чтобы функция y= f(x)была выпуклой (вогнутой) на[a, b] необходимо и достаточно, чтобы во всех x  (a, b) f (x) 0) . Теорема.Условие выпуклости и вогнутости кривой

• 
  Слайд 17
  

  Доказательство: Пусть x= x0 (a, b) , касательная к кривой y=f(x) в точке M(x0,f(x0)): Y - f(x0) = f(x)(x - x0) Формула Тейлора для y= f(x) при n = 1:y M(x0,f(x0)) y=f(x) = f (x0) + f(x0)(x- x0)+ Yy тогда0 x0 х х d= y–Y = f(x0)+f(x0)(x- x0)+-(f(x0+f(x)(x-x0)) d= , где x0

• 
  Слайд 18
  

  Правило «дождя» Интервалы, в которых дуги кривой y = f(x) выпуклы, определяются из неравенства , а интервалы, в которых дуги кривой y= f(x) вогнуты- из неравенства . у + х х0 у х х0

• 
  Слайд 19
  

  Точка M0(х0,f(х0))называется точкой перегиба, если кривая переходит в точке M0с одной стороны касательной на другую, т. е. если в некоторой окрестности точки х0 все точки кривой с абсциссами x х0- по другую , т.е. при переходе через точку х0 кривая меняет направление выпуклости. точка перегиба

• 
  Слайд 20
  

  Точки перегиба y y y y Mo Mo Mo Mo O x0 x O x0 x O x0 x O x0 x

• 
  Слайд 21
  

  Необходимым условием существования точки перегиба функции в точках, где существует конечная производная является обращение в ноль второй производной: Необходимое условие точки перегиба

• 
  Слайд 22
  

  Пусть функция y=f(x) определена инепрерывнана[a, b] и конечнаяпроизводная f (x)на (a, b), которая в точке x0 (a, b) f (x0) = 0, тогда , еслиf (x)при переходе через точку x0меняет знак, то точка x0 будет точкой перегиба функции f(x). Достаточноеусловием существования точки перегиба функции в точках, где существует конечная производная является обращение в ноль второй производной: Теорема.Достаточное условиеточки перегиба

• 
  Слайд 23
  

  Чтобы найти точки перегиба кривой y = f(x),нужно найти все точки кривой, в которых или не существует, а функция определена, т. е. “подозрительные” на перегиб

• 
  Слайд 24
  

  Если при переходе через точку “подозрительную” на перегиб вторая производная меняет знак, то эта точка будет точкой перегибафункцииf(x).

• 
  Слайд 25
  

  x [- , ]; ; Пример. Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой

• 
  Слайд 26
  

  4. Находим точки подозрительныена перегиб: y 0, yx2=1, x3= -1, функция определена и непрерывна в этих точках. у- -1+ 1 - хyт.п. (1) = 0, y -1 1х-промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба т.п. т.п.

• 
  Слайд 27
  

  Прямая линия называется асимптотой для кривой y = f (x), если расстояние dот точки M, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точки M вдоль какой-нибудь части кривой в бесконечность. асимптоты

• 
  Слайд 28
  

  Различают асимптоты: горизонтальные,вертикальные инаклонные y = b x = a y = kx+b yyy y=f(x)M bd dd M y=f(x) y=f(x) y=kx+b 0 x 0 a x0x

• 
  Слайд 29
  

  Кривая y = f (x) имеет горизонтальную асимптоту y = bтолько в том случае, когда существует конечный предел функции y = f(x) при или и этот предел равен b , т. е. если или Горизонтальная асимптота

• 
  Слайд 30
  

  Кривая y= f (x) имеет вертикальную асимптоту x = a, если или   вертикальная асимптота

• 
  Слайд 31
  

   Для определения вертикальных асимптот нужно отыскать точкиразрыва II - го рода функции, а также границы области определения функции y = f(x). Замечание.Если х r, то вертикальных асимптот нет.

• 
  Слайд 32
  

  Для определения наклонной асимптоты y= kx + bкривой y=f(x) нужно найти числа kи bпо формулам:   и (следует отдельно рассмотреть случаи x  + иx  - ). Если хотя бы один из пределов равен  или не существует, то наклонной асимптоты кривая не имеет. наклонная асимптота

• 
  Слайд 33
  

  Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной, т. е. симметричен ли её график относительно оси ординат или начала координат. Найти точки пересечения с осями координат. Найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции. Найти y. Найти интервалы монотонности, т. е. интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Найти y. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба. Построить график функции, используя все собранные данные. Планполного исследования функции:

• 
  Слайд 34
  

  Требуется исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график . 1) область определения функции X = (- , -1)  (-1, + ). 2)f(-х) f(х) и f(-х)  -f(х),функция не является ни четной, ни нечетной; Пример 1.

• 
  Слайд 35
  

  3. функция терпит разрыв II - го рода при х = -1, т.к. х = -1вертикальная асимптота

• 
  Слайд 36
  

  Наклонную асимптоту ищем в виде у = kх + b

• 
  Слайд 37
  

  Наклонная асимптота: у = 0,5х -1.

• 
  Слайд 38
  

  4. Найдем интервалы монотонности и точки экстремума функции.

• 
  Слайд 39
  

  Найдем точки подозрительные на экстремум: у'(х) =0 , х1 = -3 и х2 = 0; у'(х) не существует, когда  х3 = -1. Точка х = -1 не может быть точкой экстремума, (точка разрыва II-го рода) уmax =f(-3) у+ -3 - -1 +0 х у-3 -1 0х max разрыв II-го рода

• 
  Слайд 40
  

  Найдём интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба:

• 
  Слайд 41
  

  Найдем точки подозрительные на перегиб: у''(х) = 0 , 3х = 0 х = 0. у"(х), когда х = -1, х = -1 не может быть точкой перегиба, (разрыв II - города) ут.п.(0) = f(0) = 0. разрыв т.п. II - го рода у" - -1 - 0 +х у-1 0 х

• 
  Слайд 42
  

  6. Строим график функции, используя все собранные данные. т.п. у х -3 -1 0 max разрыв II - го рода х = -1 у = 0,5х -1

• 
  Слайд 43
  

  Требуется исследовать функцию y= x4 - 2x2 + 1 методами дифференциального исчисления и построить ее график . 1. Область определения функции X = (- , + ). 2. f(-х) = f(х) функция четная. 3. Асимптот нет. ( X = (- , + ). ) 4. у = 4x3 - 4x; у= 0 при х1= 0, х2,3= 1 у- -1 + 0 - 1 + xуmin(1) = 0 y-1 0 1 xуmax(0) = 1 min max min Пример2

• 
  Слайд 44
  

  5. у= 12x2– 4; у= 0при х4,5=  у+ - +x ут.п.( ) = yx т.п. т.п. y max1 т.п.т.п. -1 1 x min 0 min

• 
  Слайд 45
  

  Требуется исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график . 1. Область определения функции X = (- , 0) и ( 0, + ). 2. f(-х) f(х) и f(-х)  -f(х) - ни четная, ни нечетная; 3. - разрыв II - го рода х = 0 - вертикальная асимптота Пример3

• 
  Слайд 46
  

  левая наклонная асимптота у = 0 является горизонтальной асимптотой при

• 
  Слайд 47
  

  4. 5. у= 0 при х1= 1, уне существует, когда х= 0 (эта точка не принадлежит области определения функции). у - 0- 1+ х уmin = f(1) = е у01 х разрыв II - го родаmin 6.у- 0+х 7. у0 т.к. х2 - 2x + 2  0 ,у0х разрыв II - го рода уне существует, когда х= 0 (эта точка не принадлежитобласти определения функции). у= 12x2– 4; 7.у= 0при х4,5=  у+ - +xуmn( ) = y x mnmn

• 
  Слайд 48
  

  y еmin О 1 х разрыв II - го рода

• 
  Слайд 49

  Спасибо за внимание!