Презентация на тему "Свойства треугольника"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Работа ученицы 9Б класса Медведевой Ларисы. Руководитель: Малышева Р. Н. Треугольник 5klass.net

• 
  Слайд 2
  

  Треугольники Треугольникомназывается фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинамитреугольника, а отрезки -- его сторонами.

• 
  Слайд 3

  Виды треугольников

  Треугольник называетсяравнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основаниемтреугольника. Треугольник, у которого все стороны равны, называетсяравностороннимили правильным. основание А В С

• 
  Слайд 4

  Медиана

  Медианатреугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника. Свойства медиан треугольника Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжеститреугольника. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

• 
  Слайд 5

  Биссектриса

  Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольниканазывается отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

• 
  Слайд 6

  Свойства биссектрис треугольника

  Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: . Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

• 
  Слайд 7

  Высота

  Высотойтреугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника. Свойства высот треугольника В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

• 
  Слайд 8

  Срединный перпендикуляр

  Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку. Свойства серединных перпендикуляров треугольника Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

• 
  Слайд 9

  Средняя линия

  Средней линией треугольниканазывается отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойство средней линии треугольника Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. М Е А В С

• 
  Слайд 10

  Признаки равенства треугольников

  Два треугольника равны, если у них соответственно равны: две стороны и угол между ними; два угла и прилежащая к ним сторона; три стороны.

• 
  Слайд 11

  Признаки равенства прямоугольных треугольников

  Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны: гипотенуза и острый угол; катет и противолежащий угол; катет и прилежащий угол; два катета; гипотенуза и катет.

• 
  Слайд 12

  Подобие треугольников

  Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия: два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника; две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны; три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

• 
  Слайд 13

  Теорема синусов

  Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметруописанной около треугольника окружности:

• 
  Слайд 14

  Теорема косинусов

  Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2= b2+ c2- 2bc cos (bc)

• 
  Слайд 15

  Произвольный треугольник

  a, b, c — стороны;  — угол между сторонами a и b;— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a. S = aha S = ab sin α S = pr

• 
  Слайд 16

  Прямоугольный треугольник

  a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c. S = ab S = chc

• 
  Слайд 17
  

  Равносторонний треугольник

• 
  Слайд 18

  Теорема 4.3. 

  В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство Пусть Δ  ABC – равнобедренный с основанием AB . Рассмотрим Δ  BAC . По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC  =  BC ; BC  =  AC ; C  =  C . Отсюда следует A  =  B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

• 
  Слайд 19

  Теорема 4.4. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

  В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Рисунок 4.3.1. Доказательство Пусть Δ  ABC – равнобедренный с основанием AB , и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB . Отсюда получаем, что Δ  ACD  = Δ  BCD . Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD  =  BCD ,  ADC  =  BDC . Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана. Признаки равнобедренного треугольника.

• 
  Слайд 20

  Теорема 4.5. 

  Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Доказательство Пусть Δ  ABC – треугольник, в котором A  =  B . Δ  ABC равен Δ  BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB  =  BA ; B  =  A ; A  =  B . Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC  =  BC . Тогда, по определению, Δ  ABC – равнобедренный. Теорема доказана.