Презентация на тему "Теорема Пифагора. Различные формулировки" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теорема Пифагора

  Различные формулировки

• 
  Слайд 2

  Как известно…

  Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов», но… Как звучала эта теорема у Евклида: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол» Как звучала у Аннаирици: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

• 
  Слайд 3

  Научное открытие

  В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:

• 
  Слайд 4

  Доказательства теоремы Пифагора

  Простейшее Метод разложения Метод дополнения Другие…

• 
  Слайд 5

  Простейшее доказательство

  Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана.

• 
  Слайд 6

  Доказательство методом дополнения

  От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах: В-А=С и В1-А1=С1. Часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики.

• 
  Слайд 7
  

  Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов,построенных на катетах.

• 
  Слайд 8
  

  Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Теорема доказана

• 
  Слайд 9

  Доказательство методом вычитания

  Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

• 
  Слайд 10
  

  треугольники 1, 2, 3, 4; прямоугольник 5; прямоугольник 6 и квадрат 8; прямоугольник 7 и квадрат 9; Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут: прямоугольники 6 и 7; прямоугольник 5; прямоугольник 1(заштрихован); прямоугольник 2(заштрихован);

• 
  Слайд 11
  

  Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: прямоугольник 5 равновелик самому себе; четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);; прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован); Доказательство закончено

• 
  Слайд 12

  Доказательство Хоукинсa

  Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

• 
  Слайд 13
  

  SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c² Теорема доказана.

• 
  Слайд 14

  Векторное доказательство

  Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство:b+c=a откуда имеем c = a - b возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²-2ab Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда c²=a²+b² или c²=a²+b² Нами снова доказана теорема Пифагора. Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

• 
  Слайд 15

  Доказательство Евклида

  Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

• 
  Слайд 16
  

  FB = AB, BC = BD РFBC = d + РABC = РABD Но SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать.

• 
  Слайд 17

  Удивительный факт

  Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

• 
  Слайд 18

  Итоги работы

  На самом деле существует много способов доказательства теоремы Пифагора: доказательство Евклида, Хоукинса, Вальдхейма, способ «луночками» Гиппократа, доказательство Басхары, Эпштейна, Нильсена, Бетхера, Перигаля, Гутхейля, векторное доказательство и многие другие…