Содержание
-
Комбинаторика, статистика и теория вероятностей на итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов.
Казак Вадим Михайлович, учитель математики МАОУ СОШ №147. pptcloud.ru
-
ЕГЭ и ГИА
Аттестация за курс основной и средней школы проходит не по алгебре, а по математике. В контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике включены задания по алгебре, геометрии (планиметрия, стереометрия) и вероятности. В КИМ ГИА включены задания по алгебре, геометрии (планиметрия), статистике и теории вероятностей. В 2011-2012 учебном году варианты КИМ ЕГЭ и ГИА по математике будут составляться с использованием Федерального банка тестовых заданий, опубликованного на сайтах:www.mathege.ruиwww.mathgia.ru
-
Задания по теории вероятностей
Задача по данной теме относится к списку заданий, чтобы преодолеть минимальный порог, т.е. минимальный тестовый балл для получения школьного аттестата. Задания направлены на математические ситуации в повседневной жизни. Такие задачи приходится решать на вокзалах, в банках, в магазинах, при вызове такси и во время ремонта квартиры. Задание является несложным, так как основано на использовании жизненных наблюдений и здравого смысла. Правильное выполнение такого задания оценивается одним баллом. Примерное время выполнения учащимся задания изменяется от 3 до 10 минут, с учетом уровня изучения математики в данном учебном заведении, знаний и умений самого выпускника и его психологической готовности к сдаче экзамена.
-
Учебно-методичиские пособия
Вероятность и статистика. 5-9 кл.:Пособие для обшеобразоват. учеб.заведений./ Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. – М.: Дрофа, 2002-2010. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2011. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9 кл. обшеобразоват. Учреждений /М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. – М.: Просвещение, 2011. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. Задания В10. /А.Л. Семенов и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Математика. 2012. Учебное пособие. / А.В. Семенов и др.; под ред. И.В. Ященко; МЦНМО. – М.: Интеллект-Центр, 2012. –с. 38-41.
-
Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В7-В14). Пособие для «чайников». / Е.Г. Коннова и др.; под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012. Элементы теории вероятностей и статистика: учебно-методическое пособие. /Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. Теория вероятностей и статистика /Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008-2010. Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО: МИОО, 2011. Теория вероятностей и статистика. Контрольные работы и тренировочные задачи. 7-8 классы. /В.В. Бородкина, И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7- 9 классы. /авт.-сост. В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2006-2010.
-
Список тем по теории вероятностей:
Понятие о случайном опыте и случайном событии. Частота случайного события. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Классическое определение вероятности.
-
Выпускник должен знать:
Находить частоту события, используя собственный жизненный опыт и готовые статистические данные. Находить вероятности случайных событий в простейших случаях. Решать практико-ориентированные задачи, требующих перебора вариантов. Уметь сравнивать шансы наступления случайных событий и оценивать вероятности их наступления в практических ситуациях.
-
Статистика
Среднее арифметическое, размах, мода – статистические характеристики.
-
Статистические характеристики:
Средним арифметическимряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. Модой обычно называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто (Мо). Размах– это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.
-
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
-
Задача:
Проведя учёт числа животноводческих ферм в 15 хозяйствах района, получили следующий ряд данных: 1, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 2. Найдите для этого ряда среднее арифметическое, размах, моду и медиану. Среднее арифметическое Мода Размах Упорядочим данные: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5 Медиана Ме=2
-
Элементы комбинаторики:
Правило суммы. Правило произведения. Перебор возможных вариантов. Схема- дерево возможных вариантов. Формулы комбинаторики.
-
Правило суммы:
Если элемент А может быть выбран m способами, а элемент B- n способами, причём выборы А и B являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо B» может быть осуществлён m+nспособами.
-
Задача
Сколько существует способов выбрать кратное 2 или 3 число из множества чисел: 2,3,4,15,16,20,21,75,28? Решение m=5 – кратное 2 (2,4,16,20,28), n=4 –кратное 3 (3,15,21,75). По правилу суммы находим : m+n= 5+4=9 способов. Ответ: 9 способов.
-
Правило произведения(правило умножения)
Если элемент А может быть выбран m способами, а элемент B – n способами, то выбор «A и B» может быть осуществлён m*n способами.
-
Задача
На почте продаётся 40 разных конвертов и 25 различных марок. Сколько вариантов покупки конвертов с маркой можно осуществить? Решение Конверт можно выбрать 40 способами, марку – 25 способами. По правилу произведения покупку можно осуществить 40*25= 1000 способами. Ответ: 1000 способов.
-
Перебор возможных вариантов
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? Ответ: 24 числа
-
Схема– дерево возможных вариантов
-
Факториал
Произведение натуральных чисел от 1 до n в математике называют факториалом числа n и обозначают n!n! =1* 2* 3* 4*… *n Например : 5! = 1* 2* 3* 4* 5=120
-
Перестановки
Перестановкой из nэлементов называется комбинация, в которой все эти nэлементов расположены в определенном порядке. Перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. n = 3 P=3!=1*2*3=6P = n! 1 2 3 4 5 6
-
Размещения
Размещением из n элементов по k называется комбинация, в которой какие-то k из этих n элементов расположены в определенном порядке. Размещения отличаются друг от друга не только порядком расположения элементов, но и тем, какие именно k элементов выбраны в комбинацию.
-
Задача на размещения
n = 3 k = 2 A = n k n ! (n-k)! 1 2 3 4 5 6 6 A = 3 2 3 ! (3-2)! = 1 = 6
-
Сочетания
Сочетанием из n элементов по k называется комбинация, в которой из этих nэлементов выбраны любые k без учета их порядка в комбинации. Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранных элементов, а не их порядок. С = n k n ! (n-k)! k!
-
Задача на сочетания
n = 3 k = 2 1 2 3 6 C = 3 2 3 ! (3-2)!2! = 2 = 3
-
Различие между перестановками, размещениями, сочетаниями
В случае перестановок берутся всеэлементы и изменяется только их местоположение. В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга. В случае сочетаний берётся толькочасть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.
-
Теория вероятности
Если опыт, в котором появляется событие А, имеет конечное число n равновозможных исходов, то вероятность события А равна m–число благоприятных исходов, n- число всех возможных исходов. Р(А)= m n
-
Задачи на теорию вероятностей
По статистике, на каждую 1000 лампочек приходится 3 бракованые. Какова вероятность купить исправную лампочку? Решение или 99,7 %.
-
Алгоритм нахождения вероятности события А
Определить, в чём состоит случайный эксперимент (опыт) и какие у него элементарные события (исход). Найти общее число возможных исходовn. Определить какие события благоприятствуют интересующему нас событию А и найти число m. События можно обозначать любой буквой. Найти вероятность события А по формуле Р(А)= m n
-
Задачи открытого банка ЕГЭ
-
Задача №1
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
-
Решение задачи №1
Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады. Количество всех событий группы:n=? Соответствует количеству всех гимнасток. n=50. Количество благоприятных событий:m=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13. Ответ: 0,26
-
Задача №2
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
-
Решение задачи №2
Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. Количество всех событий группы:n=? Соответствует количеству всех насосов.n=1400. Количество благоприятных событий:m=? Соответствует количеству исправных насосов m=1400-14=1386. Ответ: 0,99
-
Задача №3
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
-
Решение задачи №3
Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. Количество всех событий группы:n=? Соответствует количеству всех сумок. n=190+8. Количество благоприятных событий:m=? Соответствует количеству качественных сумок.m=190. Ответ:0,96
-
Задача №4
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
-
Решение задачи №4
Опыт: выпадают три игральные кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. Количество всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов n=6*6*6=216 3-я кость - 6 вариантов Количество благоприятных событий m=? 331 223 511 412 142 313 232 151 421 214 m=18 133 322 115 124 241Ответ: 0,08
-
Задача №5
В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
-
Решение задачи №5
Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? Количество всех событий группы n=? 1-й раз - 2 варианта 2-й раз - 2 варианта n=2*2*2*2=16 3-й раз - 2 варианта 4-й раз - 2 варианта Количество благоприятныхсобытий m=?m=1. Четыре раза выпала решка. Ответ: 0,0625
-
Задача №6
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.
-
Решение задачи №6
Результат каждого бросания – это пара чисел (a, b), где aи b – числа от 1 до 6. Поэтому все поле событий состоит из 6х6 = 36 элементов (п = 36 ) Благоприятным исходом для рассматриваемого события является любая пара (a, b), для которой a+ b = 6. Это можно сделать пятью следующими способами: 6 = 1+ 5 6 = 2+ 4 6 = 3+ 3 6= 4+ 2 6 = 5+ 1 ( т = 5 ) Таким образом, вероятность заданного события равна Р = т/п =5/36 = 0,14
-
Задача №7
Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у неё выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.
-
Решение задачи №7
Первое бросание Второе бросание Сумма очков 3 + 6 = 9 4 + 5 = 9 5 + 4 = 9 6 + 3 = 9 Равновозможных исходов – 4 Благоприятствующих исходов – 2 Вероятность события р = 2/4 = 0,5
-
Задача №8
Наташа и Вика играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.
-
Решение задачи №8
Наташа Вика Сумма очков 2 + 6 = 8 3 + 5 = 8 4 + 4 = 8 5 + 3 = 8 6 + 2 = 8 Равновозможных исходов – 5 Благоприятствующих исходов – 2 Вероятность события р = 2/5 = 0,4
-
Задача №9
Миша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того, что все три раза выпадут чётные числа?
-
Решение задачи №9
У Миши равновозможных исходов – 6 · 6 · 6 = 216 Благоприятствующих проигрышу исходов – 3 · 3·3 = 27 Вероятность события р= 27/216 = 1/8 = 0,125 Ответ:0,125.
-
Задача №10
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых
-
Решение задачи №10
Первая Вторая Третья Сумма очков 4 + 6 + 6 = 16 6 + 4 + 6 = 16 6 + 6 + 4 = 16 5 + 5 + 6 = 16 5 + 6 + 5 = 16 6 + 5 + 5 = 16 Равновозможных исходов 6 · 6 · 6 = 216 Благоприятствующих исходов – 6 Вероятность события р = 6/216 = 1/36 = 0,277… = 0,28
-
Задачи открытого банка ГИА
-
Задача №1
В урне лежат одинаковые шары:5 белых, 3 красных и 2 зелёных. Саша вынимает один шар. Найдите вероятность того, что он окажется зелёным. Решение Всего в урне лежит 5+3+2=10 шаров, из них 2 – зелёных. Вероятность того, что вынутый шар окажется зелёным, равна 2:10=0,2. Ответ: 0,2
-
Задача №2
В копилке находятся монеты достоинством 2 рубля – 14 штук, 5 рублей – 10 штук и 10 рублей – 6 штук. Какова вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей? Решение Всего в копилке 14+10+6=30 монет, из них 6 штук – десятирублевых. Вероятность того, что первая монета, выпавшая из копилки, будет достоинством 10 рублей, равна 6:30=1:5=0,2. Ответ: 0,2
-
Задача №3
Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, чтовсе монеты упадут орлом вверх? Решение Рассмотрим полную группу событий.♦первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);♦обе монеты упали орлом;♦первая монета упала решкой, вторая — орлом;♦обе монеты упали решкой.Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.Нас интересуют те исходы опыта, когда обе монеты упали орлом. Такой случай всего один. Стало быть, N = 1.Итак, вероятность выпадения двух орлов: Р = 1/4. Ответ: 0,25
-
Задача №4
Подбрасывают две монеты. Какова вероятность того, чторовно одна монета упадёт орлом вверх? Решение Рассмотрим полную группу событий.♦первая монета упала орлом (о), вторая — решкой (р);♦обе монеты упали орлом;♦первая монета упала решкой, вторая — орлом;♦обе монеты упали решкой.Мы перечислили все возможные исходы опыта, их всего – 4.Нас интересуют те исходы опыта, когда одна их монет упала орлом. Вверх. Таких случаев два. Стало быть, N = 2.Итак, вероятность выпадения «орла»: Р = 2/4=1/2 Ответ: 0,5
-
Задача №5
Паша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 7. Решение Всего двузначных чисел – 90. Двузначных чисел, оканчивающихся на 7: 17,27,37,47,57,67,77,87,97 – 9 чисел. Вероятность того, что наугад выбранное двузначное число оканчивается на 7, равна: 9:90=0,1 Ответ: 0,1
-
Задача №6
На экзамене 45 билетов, Антон не успел выучить 18 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет, если билет берётся наудачу. Решение Всего 45 билетов. Антон выучил 45-18=27 билетов. Вероятность того, что ему попадётся выученный билет, 27:45=0,6 равна. Ответ: 0,6
-
Задача №7
На столе лежат 7 синих, 3 красных и 5 зелёных ручек. Найдите вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной. Решение Всего на столе 7+3+5=15 ручек, из 3 – красных. Вероятность того, что наугад взятая ручка окажется красной, равна 3:15=0,2. Ответ: 0,2
-
Задача №8
В тестовом задании пять вариантов ответа, из которых только один верный. Какова вероятность правильно решить задание, если выбирать вариант наугад? Решение Если в тестовом задании только один из пяти ответов верный, то вероятность правильно решить задание , если выбирать вариант наугад, равна 1:5=0,2. Ответ: 0,2.
-
Задача № 9
В мешке находятся 2 чёрных и 3 белых шара. Наугад вытаскивают два шара. Какова вероятность того, что вытащенные шары будут одного цвета? Решение Всего в мешке 5 шаров. Вероятность того, что вытащенные два шара будут одного цвета, равна 2:5=0,4. Ответ: 0,4.
-
Задача №10
Из города А в город В можно добраться поездом, самолётом и на автомобиле. Из города В в город С можно добраться только поездом и самолётом. Пассажир выбирает для себя транспорт случайным образом. Какова вероятность того, что этот пассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом?
-
Решение задачи №10
По правилу произведения получаем, что добраться из города А в город С через город В можно 3∙2=6 способами. Вероятность того, чтопассажир, добравшийся из города А в город В, воспользовался в обоих случаях самолётом, равна 1:6. Ответ: 1/6. А В С
-
Спасибо за внимание!Удачи на ЕГЭ !!!Удачи на гиа !!!
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.