Презентация на тему "Вероятностные задачи в ГИА 9,11 классах"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач

  МОУ № 12 г. о.Жуковский Богданова С.В.

• 
  Слайд 2
  

  2 Эпиграф урока: . . «Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

• 
  Слайд 3
  

  3 Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример:выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример:В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

• 
  Слайд 4
  

  4 Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры:1)Опыт -выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - неравновозможны. Появление белого шара имеет больше шансов..

• 
  Слайд 5
  

  5 Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример:1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй

• 
  Слайд 6
  

  6 Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример:1)Опыт –один развыбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными.

• 
  Слайд 7
  

  7 Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу . P(A) = m/n Классическое определение вероятности

• 
  Слайд 8
  

  10.01.2017 8 Приложение 1

• 
  Слайд 9
  

  9 Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача №1:Сколько двузначных чисел можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? В данном случае легко перебрать все комбинации. 77 78 79 88 87 89 99 97 98 9 вариантов

• 
  Слайд 10
  

  10 Задача №2:Сколько пятизначных можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения

• 
  Слайд 11
  

  11 Задачи открытого банка

• 
  Слайд 12
  

  12 Задача 1.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число 56? Число возможных исходов - 100 (сто чисел). Верно названное число одно. Это 56, значит благоприятный исход один. Вероятность того, что он назовёт число 56 будет один к ста или 0,01. Ответ: 0,01

• 
  Слайд 13
  

  13 Задача 2. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число кратное пяти? Число возможных исходов 100 (сто чисел). Чисел кратных пяти двадцать (перечислим):5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100. То есть число благоприятных исходов 20. Вероятность того, что ученик назовёт число кратное пяти равна 20 к 100 или 20/100=0,2. Ответ: 0,2

• 
  Слайд 14
  

  14 Задача 3. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовёт число, принадлежащее промежутку от 5 до 20 включительно? Число возможных исходов - 100. Число благоприятных исходов - 16: это числа от 5 до 20 (5,6…..19,20), причём 5 и 20 входят в промежуток (в условии сказано «от 5 до 20 включительно»). Искомая вероятность равна 16/100. Ответ: 0,16

• 
  Слайд 15
  

  Задача 4. Валя выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

  15 Число возможных исходов - это количество трёхзначных чисел. Их существует от 100 до 999, быстрее всего их можно посчитать так: 1000-1-99=900 (исключаем тысячу и числа от 1 до 99). То есть число всевозможных исходов: 900. Найдем, сколько трехзначных чисел делится на 51. Если мы поделим 999 - самое большое трехзначное число - на 51, то получим приблизительно 19 целых пятьдесят восемь сотых. То есть в 999 вмещается 19 чисел, кратных 51. Но среди них есть и само число 51, которое не является трехзначным. А значит трехзначных чисел, делящихся на 51 - 18. Число благоприятных исходов 18. Вероятность искомого события равна 18 к 900, или 18/900=0,02. Ответ: 0,02

• 
  Слайд 16
  

  16 Задача 5. Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся П. верно решит боль­ше 7 задач, равна 0,78. Ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит боль­ше 6 задач, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит ровно 7 задач. Рас­смот­рим со­бы­тия A = «уча­щий­ся решит 7 задач» и В = «уча­щий­ся решит боль­ше 7 задач». Их сумма — со­бы­тие A + B = «уча­щий­ся решит боль­ше 6 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,89 = P(A) + 0,78, от­ку­да P(A) = 0,89 − 0,78 = 0,11. Ответ: 0,11

• 
  Слайд 17
  

  17 Задача 6. Если гросс­мей­стер А иг­ра­ет бе­лы­ми, то он вы­иг­ры­ва­ет у гросс­мей­сте­ра Б с ве­ро­ят­но­стью 0,5. Если А иг­ра­ет чер­ны­ми,  то А вы­иг­ры­ва­ет у Б с ве­ро­ят­но­стью 0,3. Гросс­мей­сте­ры А и Б иг­ра­ют две пар­тии, при­чем во вто­рой пар­тии ме­ня­ют цвет фигур. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что А вы­иг­ра­ет оба раза. Воз­мож­ность вы­иг­рать первую и вто­рую пар­тию не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей: 0,5 · 0,3 = 0,15. Ответ: 0,15.

• 
  Слайд 18
  

  Задача 7. В клас­се 21 уча­щий­ся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 3 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Вадим и Олег ока­жут­ся в одной груп­пе.

  18 В клас­се 21 уча­щий­ся. 3 рав­ные груп­пы - это груп­пы по 7 че­ло­век. Пусть Вадим на­хо­дит­ся в одной из трех групп. Тогда для Олега в груп­пе Ва­ди­ма оста­ет­ся 6 мест из 20 воз­мож­ных. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что Вадим и Олег ока­жут­ся в одной груп­пе:  6 из 20   Ответ: 0,3.

• 
  Слайд 19
  

  19 Задача 8. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 1 жёлтая и 4 зелёных. На вызов выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси. Возможное число исходов - 10. Число благоприятных исходов - 1 (жёлтая машина одна). Искомая вероятность равна 1 к 10 или 0,1. Ответ: 0,1

• 
  Слайд 20
  

  20 Задача 9. Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский чай­ник про­слу­жит боль­ше года, равна 0,93. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,87. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года. Пусть A = «чай­ник про­слу­жит боль­ше года, но мень­ше двух лет», В = «чай­ник про­слу­жит боль­ше двух лет», С = «чай­ник про­слу­жит ровно два года», тогда A + B + С = «чай­ник про­слу­жит боль­ше года».   Со­бы­тия A, В и С не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия С, со­сто­я­ще­го в том, что чай­ник вый­дет из строя ровно через два года — стро­го в тот же день, час и се­кун­ду — равна нулю. Тогда:  P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),  от­ку­да, ис­поль­зуя дан­ные из усло­вия, по­лу­ча­ем  0,93 = P(A) + 0,87. Тем самым, для ис­ко­мой ве­ро­ят­но­сти имеем:   P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.   Ответ: 0,06.

• 
  Слайд 21
  

  21 Задача 10. У Вити в ко­пил­ке лежит 12 рублёвых, 6 двух­рублёвых, 4 пя­ти­рублёвых и 3 де­ся­ти­рублёвых мо­не­ты. Витя на­у­гад достаёт из ко­пил­ки одну мо­не­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что остав­ша­я­ся в ко­пил­ке сумма со­ста­вит более 70 руб­лей. У Вити в ко­пил­ке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Боль­ше 70 руб­лей оста­нет­ся, если до­стать из ко­пил­ки либо рублёвую, либо двух­рублёвую мо­не­ту. Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна 18 : 25 = 0,72.   Ответ: 0,72.

• 
  Слайд 22
  

  Задача 11. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

  10.01.2017 22 Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во благоприятных событий:m=? К-во всех событий группы:n=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13 Соответствует количеству всех гимнасток. n=50

• 
  Слайд 23
  

  Задача 12. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

  23 Выясним, как распределятся выступления по дням: 1 день – 8 выступлений, остальные поровну, значит по 18 выступлений в день. 2 день - 18 выступлений, 3 день – 18 выступлений, 4 день – 18 выступлений, 5 день – 18 выступлений Вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 18 к 80 или 18/80=0,225. Ответ: 0,225

• 
  Слайд 24
  

  Задача 13. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

  24 В данном случае нужно поставить себя на место Руслана Орлова. Он будет играть кем-то из 25 спортсменов (на чемпионат приехали Руслан и ещё 25 спортсменов), значит возможных исходов 25. Из них осталось 9 спортсменов из России. Это и есть число благоприятных исходов. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России 9 к 25 или 0,36.

• 
  Слайд 25
  

  Задача 14. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

  10.01.2017 25 Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во благоприятных событий:m=? К-во всех событий группы:n=? Соответствует количеству исправных насосов m=1400-14=1386 Соответствует количеству всех насосов. n=1400

• 
  Слайд 26
  

  Задача 15. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

  10.01.2017 26 Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во благоприятных событий:m=? К-во всех событий группы:n=? Соответствует количеству качественных сумок. m=190 Соответствует количеству всех сумок. n=190+8

• 
  Слайд 27
  

  В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в одном кармане. 27

• 
  Слайд 28
  

  Вероятность и правило произведения. Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман 5 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 1 Р = ( 2/6* 4/5* 3/4 ) * 3 =3/5 = 0,6 «5» «1» «1» Задача 16. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах. 28

• 
  Слайд 29
  

  Вероятность и правило произведения. Решение: Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания: 1 карман 2 карман 5 5 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 ИЛИ наоборот 1 5 5 1 1 1 Р = ( 2/6*1/5*4/4 ) * 2 = 2/5 = 0,4 «5» «5» «1» Задача 17. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в одном кармане. 29

• 
  Слайд 30
  

  30 Задача 18. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трёх очков. Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты): 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1 - всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4. Ответ: 0,4

• 
  Слайд 31
  

  Задача 19. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

  10.01.2017 31 Опыт: бросают три игральные кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? 331 313 133 223 232 322 511 151 115 412 421 124 142 214 241 К-во всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов

• 
  Слайд 32
  

  Задача 20. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.

  10.01.2017 32

• 
  Слайд 33
  

  33 Задача 21. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трёх очков. Сумму в шесть очков можно получить следующими способами (переберём варианты): 1 кубик 2 кубик 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 - всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна 2 к 5 или 0,4. Ответ: 0,4

• 
  Слайд 34
  

  Задача 22. Наташа и Вика играют в кости. Они бросают игральную кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Наташа выиграла.

  Всего 5исходов. Благоприятных исходов – 2. Р = 2/5 34

• 
  Слайд 35
  

  Задача 23. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, первые два броска окончатся одинаково.

  35 Найдём число возможных исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах составляйте таблицу, так считать удобнее Первые два броска одинаково могут окончиться в четырёх случаях это 1,2,5,6 варианты, то есть благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна 4/8=0,5.

• 
  Слайд 36
  

  36 Задача 24. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. В данной задаче составляется та же таблица, что и предыдущей. Орёл не выпадет ни разу только в одном варианте из восьми (пятый вариант). Искомая вероятность равна 1 к 8 или 0,125. Ответ: 0,125

• 
  Слайд 37
  

  Задача 25. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.

  Всего исходов – 36 Благоприятных исходов – 6 Р=6/36=1/6 37

• 
  Слайд 38
  

  10.01.2017 38 Задача 26. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? m=1 Четыре раза выпала решка. 1-й раз - 2 варианта 2-й раз - 2 варианта 3-й раз - 2 варианта 4-й раз - 2 варианта