Презентация на тему "Вычисление значений многочлена. Схема Горнера"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Вычисление значений многочлена. Схема Горнера

• 
  Слайд 2
  

  При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочленов вида При непосредственном вычислении потребуется выполнить большое число операций умножений и п сложений

• 
  Слайд 3

  Теорема Безу

  Остаток от деления многочлена на двучлен равен значению этого многочлена при Доказательство: ,где – многочлен степени на единицу меньшей, чем Найдем значение при что и требовалось доказать Пусть

• 
  Слайд 4
  

  Рассмотрим более простой метод деления многочлена на линейный двучлен Представим многочлен в виде ,где или

• 
  Слайд 5
  

  Раскрывая скобки в последнем равенстве имеем После приведения подобных членов имеем

• 
  Слайд 6
  

  Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим равенства или

• 
  Слайд 7
  

  Вычисления удобно располагать по следующей схеме (называемой схемой Горнера): Этот метод требует n умножений и n сложений.

• 
  Слайд 8

  Вычисление значений аналитической функции

• 
  Слайд 9
  

  Действительная функция f(x) называется аналитической в точке если в некоторой окрестности этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора): При получаем ряд Маклорена

• 
  Слайд 10
  

  Разность называется остаточным членом и представляет собой ошибку при замене функции f(x) полиномом Тейлора

• 
  Слайд 11
  

  Как известно, где В частности, для ряда Маклорена имеем где Имеются также другие формы остаточных членов.

• 
  Слайд 12

  Вычисление значений показательной функции

  Для показательной функции справедливо разложение Остаточный член ряда имеет вид

• 
  Слайд 13
  

  Приближенное вычисление для малых x удобно вести , пользуясь следующей рекуррентной записью: (k = 1, 2, …, n), где Число приближенно дает искомый результат.

• 
  Слайд 14
  

  Для остатка ряда может быть получена следующая оценка: при Поэтому процесс суммирования может быть прекращен, как только очередной вычисленный член ряда будет по модулю меньше заданной допустимой погрешности: ,если только Для больших по модулю значений x этот ряд мало пригоден для вычислений

• 
  Слайд 15

  Вычисление значений логарифмической функции

  Пользуемся разложением по степеням Пусть x – положительное число. Представим его в виде где m – целое число и

• 
  Слайд 16
  

  Тогда, полагая , получим где

• 
  Слайд 17
  

  Обозначив получаем рекуррентную запись , Процесс суммирования прекращается, как только выполнится неравенство где – допустимая погрешность.

• 
  Слайд 18

  Вычисление значений синуса и косинуса.

  Для вычисления значений функций и пользуемся степенными разложениями

• 
  Слайд 19
  

  Эти ряды при больших x сходятся медленно, но, учитывая периодичность функции и и формулы приведения тригонометрических функций, легко заключить, что достаточно уметь вычислять и для промежутка

• 
  Слайд 20
  

  При этом можно использовать следующие рекуррентные формулы:

• 
  Слайд 21
  

  Так как в промежутке ряд знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то для его остатка справедлива оценка

• 
  Слайд 22
  

  Аналогично для ряда Следовательно, процесс вычисления и можно прекратить, как только очередной полученный член ряда по модулю будет меньше допустимой погрешности