Презентация на тему "Задачи на подобие треугольников"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Подобие треугольников

  Два треугольника называютсяподобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называетсякоэффициентом подобия. Таким образом, треугольник АВС подобен треугольнику A1В1С1, еслиA = A1,B = B1,C = C1 и где k – коэффициент подобия. pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Первый признак подобия

  Теорема.(Первый признак подобия.) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Отложим на луче А1В1 отрезок А1В', равный АВ, и проведем прямую В'С', параллельную В1С1. Треугольники А1B'C' и АВС равны (по второму признаку равенства треугольников). По теореме о пропорциональных отрезках имеет место равенство Следовательно, имеем равенство Аналогичным образом доказывается, что имеет место равенство Следовательно, треугольники подобны. Доказательство.Пусть в треугольникахАВС иА1В1С1A = A1,B = B1. Тогда и C = C1. Докажем, что .

• 
  Слайд 3

  Вопрос 1

  Какие треугольники называются подобными? Ответ:Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.

• 
  Слайд 4

  Вопрос 2

  Сформулируйте первый признак подобия треугольников. Ответ:Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

• 
  Слайд 5

  Вопрос 3

  Подобны ли любые два: а) равносторонних треугольника; б) равнобедренных треугольника; в) равнобедренных прямоугольных треугольника? Ответ:а) Да; б) нет; в) да.

• 
  Слайд 6

  Упражнение 1

  Выясните, подобны ли треугольники, изображенные на рисунке? Ответ: Да.

• 
  Слайд 7

  Упражнение 2

  Выясните, подобны ли треугольники, изображенные на рисунке? Ответ: Да.

• 
  Слайд 8

  Упражнение 3

  Изобразите треугольник A’B’C’, подобный данному треугольнику ABC, с коэффициентом подобия 2. Ответ:

• 
  Слайд 9

  Упражнение 4

  Изобразите треугольник A’B’C’, подобный данному треугольнику ABC, с коэффициентом подобия 0,5. Ответ:

• 
  Слайд 10

  Упражнение 5

  Стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 10 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен: а) 0,5; б) 2. Ответ:а)2,5 см, 4 см и 5 см; б) 10 см, 16 см и 20 см.

• 
  Слайд 11

  Упражнение 6

  Подобны ли прямоугольные треугольники, если у одного из них есть угол 40о, а у другого 50о? Ответ:Да.

• 
  Слайд 12

  Упражнение 7

  Два треугольника подобны. Два угла одного треугольника равны 55о и 80о. Найдите наименьший угол второго треугольника. Ответ:45о.

• 
  Слайд 13

  Упражнение 8

  В подобных треугольниках АВС и А1В1С1 АВ = 8 см, ВС = 10 см, А1В1 = 5,6 см, А1С1 = 10,5 см. Найдите АС и В1С1. Ответ:AC = 15 см, B1C1 =7 см.

• 
  Слайд 14

  Упражнение 9

  Ответ:AC = 4 м, B1C1 =14 м. У треугольников АВС и А1В1С1A = A1,B = B1, АВ = 5 м, ВС = 7 м, А1В1 = 10 м, А1С1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.

• 
  Слайд 15

  Упражнение 10

  Стороны треугольника относятся как 5:3:7. Найдите стороны подобного ему треугольника, у которого: а) периметр равен 45 см; б) меньшая сторона равна 5 см; в) большая сторона равна 7 см; г) разность большей и меньшей сторон составляет 2 см. Ответ:а) 15 см, 9 см, 21 см; в) 5 см, 3 см, 7 см; г) 2,5 см, 1,5 см, 3,5 см. б) 8 см, 5 см, 11 см;

• 
  Слайд 16

  Упражнение 11

  На рисунке укажите все подобные треугольники. Ответ:а) ABC, FEC, DBE; б) ABC,GFC, AGD, FBE; в) ABC, CDA, AEB, BEC; г) AOB, COD; д) ABC и FGC; ADC и FEC; DBC и EGC.

• 
  Слайд 17

  Упражнение 12

  У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону. Ответ:13,6 см.

• 
  Слайд 18

  Упражнение 13

  В треугольник со стороной а и высотой h, опущенной на нее, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на этой стороне треугольника, а другие две – на двух других сторонах треугольника. Найдите сторону квадрата. Ответ: .

• 
  Слайд 19

  Упражнение 14

  В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = b. Ответ: .

• 
  Слайд 20

  Упражнение 15

  Можно ли треугольник пересечь прямой, непараллельной основанию, так, чтобы отсечь от него подобный треугольник? В каком случае это невозможно? Ответ: Можно, если треугольник неравносторонний.

• 
  Слайд 21

  Упражнение 16

  Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE подобны. Доказательство:Угол A треугольника ABE равен углу D треугольника CDE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Аналогично, угол B равен углу C. Следовательно, треугольники ABE и CDE подобны по первому признаку.

• 
  Слайд 22

  Упражнение 17

  На рисунке AE = 3, BE = 6, CE = 2. Найдите DE. Ответ:4.

• 
  Слайд 23

  Упражнение 18

  На рисунке AB = 8, BE = 6, DE = 4. НайдитеCD. Ответ:.

• 
  Слайд 24

  Упражнение 19

  На рисунке CE = 2, DE = 5, AE = 4. Найдите BE. Ответ:10.

• 
  Слайд 25

  Упражнение 20

  На рисунке CE = 4, CD = 10, AE = 6. Найдите AB. Ответ:15.

• 
  Слайд 26

  Упражнение 21

  Ответ:DEK и DLF, DEKи ELK, DLFи ELK, DFKи DLE, DFKи FLK, DLEи FLK. На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF, вписанного в окружность. DL пересекает окружность в точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и F треугольника. Найдите подобные треугольники.

• 
  Слайд 27

  Упражнение 22

  Ответ:ABHи ADC, ACHи ADB, ABMи CDM, BMDи AMC. В окружность вписан остроугольный треугольник ABC, AH – его высота, AD – диаметр окружности, который пересекает сторону BC в точке M. Точка D соединена с вершинами B и C треугольника. Найдите подобные треугольники.

• 
  Слайд 28

  Упражнение 23

  Докажите, что произведение отрезков хорд, проведенных через внутреннюю точку круга, постоянно и равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку. Решение.Пусть дан круг с центром в точке O, хордаAB и диаметр CD пересекаются в точке E. Докажем, что Треугольники ACE и DBE подобны. Следовательно, значит,

• 
  Слайд 29

  Упражнение 24

  Радиус окружности равен 2. Через середину C радиуса под углом 45о к нему проведена хорда AB. Найдите произведение отрезков AC и BC. Ответ.3.

• 
  Слайд 30

  Упражнение 25

  Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D.Докажите, что треугольники ADE и BCE подобны. Доказательство:Угол D треугольника ADE равен углу C треугольника BCE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности.Угол E этих треугольников общий. Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по первому признаку.

• 
  Слайд 31

  Упражнение 26

  Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая окружность соответственно в точках A, C и B, D.Докажите, чтоAE·CE = BE·DE. Доказательство:Треугольники ADE и BCE подобны.Значит, AE : DE = BE : CE. Следовательно, AE·CE = BE·DE.

• 
  Слайд 32

  Упражнение 27

  На рисунке AE = 9, BE = 8, CE = 24. Найдите DE. Ответ:27.

• 
  Слайд 33

  Упражнение 28

  Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и касательная EС(C – точка касания). Докажите, что треугольники EAC и ECB подобны. Доказательство. У треугольников EAC и ECBугол E общий. Углы ACE и CBE равны, как углы, опирающиеся на одну хорду.Следовательно, треугольники EAC и ECB подобны.

• 
  Слайд 34

  Упражнение 29

  Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность в точках A и B, и касательная EС(C – точка касания). Докажите, что произведение отрезков AE и BE секущей равно квадрату отрезка CE касательной. Доказательство. Треугольники EAC и ECB подобны. Следовательно, AE:CE = CE:BE, значит, AE·BE = CE2.

• 
  Слайд 35

  Упражнение 30

  Радиус окружности равен 2. На продолжении радиуса взята точка C, отстоящая от центра O окружности на расстояние 3. Через точку C проведена прямая под углом 30о к OC, пересекающая окружность в точках A и B. Найдите произведение отрезков AC и BC. Ответ:5.

• 
  Слайд 36

  Упражнение 31

  На рисунке AE = 6, BE = 24. Найдите CE. Ответ:12.

• 
  Слайд 37

  Упражнение 32

  В треугольнике ABC проведены высоты AA1и BB1. Докажите, что треугольники A1AC и B1BC подобны. Доказательство. Треугольники A1AC и B1BC прямоугольные и имеют общий угол C. Следовательно, они подобны по двум углам.

• 
  Слайд 38

  Упражнение 33

  Докажите, что в прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу. (Средним геометрическим двух положительных чисел a и b называется положительное число c, квадрат которого равенab, т.е.c =). Решение: Треугольники ADC и CDB подобны. Следовательно, , или CD2 = ADBD, т.е. CD является средним геометрическим AD и BD.