Презентация на тему "Подобие в геометрии. Подобные треугольники"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ПОДОБИЕ В ГЕОМЕТРИИ

  ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Афанасьева С.А. МОУ «СОШ № 64» 2015 г.

• 
  Слайд 2

  ТЕМА «ПОДОБИЕ»

  Теоретический материал. Задачи.

• 
  Слайд 3

  ПЛАН

  Пропорциональные отрезки. Свойство биссектрисы треугольника. Определение подобных треугольников. Отношение периметров подобных фигур. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников.

• 
  Слайд 4

  ЗАДАЧИ

  Разминка. Решение задач. Задачи на признаки подобия. Тест

• 
  Слайд 5

  Пропорциональные отрезки

  Отношением отрезков называется отношение их длин. Отрезки AB и CDпропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1,, если A B C D A B С D A1 B1 С1 D1 ПРИМЕР

• 
  Слайд 6

  ПРИМЕР

  Даны два прямоугольных треугольника 5 20 15 ? 3 4 A C B N M K Стороны ΒC и CA пропорциональны MN и MK, так как т.е. и НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

• 
  Слайд 7

  Пропорциональность отрезков

  Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков. 5 20 15 25 3 4 A C B N M K например

• 
  Слайд 8

  Подобные фигуры

  Предметы одинаковой формы, но разных размеров Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями; Здание и его макет Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.

• 
  Слайд 9
  

  В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами Подобными являются любые два квадрата Подобными являются любые два круга два куба два шара

• 
  Слайд 10

  Подобные треугольники

  Даны два треугольника AΒC и A1Β1C1, у которых A = A1, Β = Β1, C = C1. Стороны AΒ и A1Β1 , AC и A1C1 , ΒC и Β1C1, лежащие против равных углов,называют сходственными C Β A C1 A1 Β1

• 
  Слайд 11

  Определение

  Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. C Β A C1 A1 Β1 A = A1, Β = Β1, C = C1. ΔAΒC~ΔA1Β1C1

• 
  Слайд 12

  Коэффициент подобия

  Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия. C Β A C1 A1 Β1 ΔAΒC~ΔA1Β1C1 k– коэффициент подобия.

• 
  Слайд 13

  Дополнительные свойства

  Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.

• 
  Слайд 14

  Отношение периметров

  Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. C Β A C1 A1 Β1 ΔAΒC~ΔA1Β1C1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• 
  Слайд 15
  

  C Β A C1 A1 Β1 ΔAΒC~ΔA1Β1C1 Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.

• 
  Слайд 16

  Отношение площадей

  Отношение площадей подобных треугольников равно квадратукоэффициента подобия. C Β A C1 A1 Β1 ΔAΒC~ΔA1Β1C1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

• 
  Слайд 17
  

  C Β A C1 A1 Β1 Пусть ΔAΒC~ΔA1Β1C1, коэффициент подобия k A = A1, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем

• 
  Слайд 18

  Свойство биссектрисы треугольника

  C B A Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. D или ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИМЕР

• 
  Слайд 19
  

  ΔABD и ΔACDимеют общую высоту AH ΔABD и ΔACDимеют равные углы 1 = 2 A H D C B 1 2 ИМЕЕМ

• 
  Слайд 20
  

  Дано: ΔABC AD – биссектриса AB= 14 см BC= 20 см AC= 21 см Найти: BD,CD. Решение: B A C D 1 2 14см 21см 20см

• 
  Слайд 21
  

  Решение: Пусть BD=x см, тогда CD= (20 – x) см. По свойству биссектрисы треугольника имеем B A C D 1 2 14см 21см 20см Решая уравнение, получим х = 8 BD= 8 см, CD= 12 см.

• 
  Слайд 22

  Признаки подобия треугольников

  Первый признак подобия треугольников. (по двум углам) Второй признак подобия треугольников. (по углу и двум пропорциональным сторонам) Третий признак подобия треугольников. (по трем пропорциональным сторонам)

• 
  Слайд 23

  Первый признак подобия треугольников.

  Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. B C A B1 A1 C1

• 
  Слайд 24
  

  Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, A =A1, B = B. Доказать: ΔABC~ΔA1B1C1 Доказательство: B C A B1 A1 C1

• 
  Слайд 25
  

  Доказательство: A = A1,B= B1. C = 180º–A–B, C1 = 180º–A1–B1. C = C1 Таким образом углы треугольников соответственно равны. B C A B1 A1 C1

• 
  Слайд 26
  

  Доказательство: A = A1, B= B1. Имеем Аналогично, рассматривая равенство углов C=C1, A=A1, получим Итак, сходственные стороны пропорциональны.

• 
  Слайд 27

  Второй признак подобия треугольников.

  Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. C Β A Β1 C1 A1

• 
  Слайд 28
  

  Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, A =A1, Доказать: ΔABC~ΔA1B1C1 Доказательство: C Β A Β1 C1 A1

• 
  Слайд 29
  

  Доказательство: Достаточно доказать, что B = B1. ΔABC2, 1=A1, 2=B1, ΔABC2 ~ΔA1B1C1 по двум углам. (из подобия). По условию AC=AC2. ΔABC=ΔABC2, т.е. B = B1. C1 B1 A1 B С A С2 1 2

• 
  Слайд 30

  Третий признак подобия треугольников.

  Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. C Β A C1 A1 Β1

• 
  Слайд 31
  

  Дано: ΔABC и ΔA1B1C1, Доказать: ΔABC~ΔA1B1C1 Доказательство: C Β A C1 A1 Β1

• 
  Слайд 32
  

  Доказательство: Достаточно доказать, что A=A1 ΔABC2, 1=A1, 2=B1, ΔABC2 ~ΔA1B1C1 по двум углам. Отсюда По условию ΔABC=ΔABC2 по трем сторонам, т.е. A=A1 C1 A1 Β1 B С A С2 1 2

• 
  Слайд 33

  Разминка

  1 Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK. Найдите MN, если AB = 3, CD = 4, PK= 2. MN = 1,5

• 
  Слайд 34
  

  2 Даны два подобных прямоугольных треугольника. Коэффициент подобия 1,5 Стороны одного из них 3, 4 и 5. Найдите гипотенузу другого. 7,5 5 · 1,5 = 7,5

• 
  Слайд 35
  

  3 По данным на рисунке найдите х. 12 х 5 4 х = 15

• 
  Слайд 36
  

  4 Длины двух окружностей 2π и 8π. Найдите отношение их радиусов. 0,25 2π : 8π = 1 : 4

• 
  Слайд 37
  

  5 Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1. Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2. 6 k2 = 9, k = 3 Коэффициент подобия 3 · 2 = 6 сторона большего квадрата

• 
  Слайд 38

  Решение задач

  1 7 13 4 8 11 15 14 5 2 3 12 9 6 10

• 
  Слайд 39

  1 задача

  Отрезки AB и CDпропорциональны отрезкам EF и MN. Найдите EF, если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN= 1 дм.

• 
  Слайд 40

  4 задача

  В треугольнике АВС АС = 6 см, ВС = 7 см, AB = 8 см, BD – биссектриса. Найдите,AD,CD. A B C D 1 2 7 8

• 
  Слайд 41

  7 задача

  Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см подобен треугольнику со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см. Найдите коэффициент подобия.

• 
  Слайд 42

  10 задача

  Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3. Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.

• 
  Слайд 43

  13 задача

  ΔABC~ΔA1B1C1 , AB : A1B1 = k = 4 SΔABC= 48 м2. Найдите площадь треугольника A1B1C1 .

• 
  Слайд 44

  2 задача

  В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, CD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма, если A D C B O 10

• 
  Слайд 45

  5 задача

  Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника M A C B 12 18

• 
  Слайд 46

  8 задача

  Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем F = 20°, E = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников. T E M 40° F P K 20°

• 
  Слайд 47

  11 задача

  Периметры подобных треугольников 12 мм и 108 мм соответственно. Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм. Найдите стороны другого и определите его вид.

• 
  Слайд 48

  14 задача

  Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2. Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

• 
  Слайд 49

  3 задача

  В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся как 1 : 3, ВС = 10 см. Найдите AC, если . . A K C B 10

• 
  Слайд 50

  6 задача

  A B C D 1 2 5 4 AD = 4 BC = 5 AB + DC = 12 НайтиAB, DC, AC

• 
  Слайд 51

  9 задача

  На рисунке ΔВЕС ~ ΔАВС, АЕ = 16 см, СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые. Найдите ВС. A B E C 16 9

• 
  Слайд 52

  12 задача

  Масштаб плана 1 : 1000. Какова длина ограды участка, если на плане размеры прямоугольника, изображающего участок 2 см х 5 см.

• 
  Слайд 53

  15 задача

  Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см2. Найдите площадь каждого треугольника.

• 
  Слайд 54

  ЗАДАЧИ

  1. Диагонали трапеции ABCDпересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма основанийBC иAD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции. Решение:

• 
  Слайд 55

  Решение

  РассмотримΔAODиΔBOC: 1=2 (накрест лежащие при AD||BC, и секущей AC; 3=4 (вертикальные) ΔAOD ~ ΔBOC(по двум углам) = k A B C D O 1 2 4 3

• 
  Слайд 56
  

  . k = 3 AD + BC= = 3BC + BC = 4BC AD + BC= 4,8см (по условию) BC=1,2 см AD =3,6 см A B C D O 1 2 4 3 Ответ: BC=1,2 см AD =3,6 см

• 
  Слайд 57

  ЗАДАЧИ

  2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF. 2,5 A B E C D F 10 4 20 16 5 Решение:

• 
  Слайд 58

  Решение

  Отсюда ΔABC~ΔDEF по трем пропорциональным сторонам 2,5 A B E C D F 10 4 20 16 5 Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников

• 
  Слайд 59
  

  ΔABC~ΔDEF Соответственно A = E B = F ACB = EDF E . Рассмотрим прямые BC и DF, секущую AE 1 = 2 (внешние накрест лежащие) BC||DF. A B C D F 1 2

• 
  Слайд 60

  ЗАДАЧИ

  3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причем . Докажите, что CBO = DAO. Решение:

• 
  Слайд 61

  Решение

  Рассмотрим ΔAOD иΔCOB DOA = COB(вертикальные). . ΔAOD ~ΔCOB по углу и двум пропорциональным сторонам. CBO = DAO (из подобия). A O C B D

• 
  Слайд 62

  ЗАДАЧИ

  4. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 6, AC = 7. Точка E лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята точка M так, что MB = 5,25, ME = 4,5, AE = 1. Прямая BM пересекает AC в точке P. Докажите, что ΔAPB равнобедренный. Решение:

• 
  Слайд 63

  Решение

  . Рассмотрим ΔBEM и ΔABC BE = AB−AE= 4 – 1 = 3 BE : AB = 3 : 4 = 0,75 EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75 BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75, т.е. стороны треугольников пропорциональны B E P C A M 7 6 4 4,5 5,25 1

• 
  Слайд 64
  

  ΔBEM~ΔABCпотрем пропорциональным сторонам. Следовательно, BME = AСB EBM = BAC BEM = ABC. Рассмотрим треугольник ABP: EBM = BAC, т.е. ABP = BAP. ΔABP – равнобедренный, что и требовалось доказать. Решение

• 
  Слайд 65

  ЗАДАЧИ

  5. Диагональ AC параллелограмма ABCDравна 90. Середина M стороны AB соединена с вершиной D. Отрезок MD пересекает AC в точке O. Найдите отрезки AО и CО. Решение:

• 
  Слайд 66

  Решение

  Рассмотрим ΔAOMи ΔCОD AOM = CОD (вертикальные), MAO =  ОCD(накрест лежащие при AB||DCи секущей AC). Отсюда ΔAOM~ΔCОD по двум углам. C M A O D B

• 
  Слайд 67
  

  C M A O D B ΔAOM~ΔCОD . AM = ½ AB(по условию) AB = CD(ABCD - параллелограмм), AM : CD = 1 : 2 т.е. AO = 0,5CО AO= ⅓AC = ⅓·90 = 30 CO= ⅔AC = ⅔·90 = 60

• 
  Слайд 68

  ТЕСТ

  Решите задачи, отметьте нужные ячейки

• 
  Слайд 69
  

  1. По данным рисунка х равен А) 7 Б) 14 В) 3,5 Г) 14/3 7 х

• 
  Слайд 70
  

  2 3 4 А В С 2) По данным рисунка периметр ΔABC равен А) 9 Б) 27 В) 36 Г) 18

• 
  Слайд 71
  

  А В С 3) По данным рисунка отрезок BC равен А) 3,75 Б) 7,5 В) 5 Г) 4,5 3 3 4 0,5 2,5

• 
  Слайд 72
  

  4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся А) 3 : 1 Б) 9 : 1 В) 6 : 1 Г) 9 : 4 A B E C D F 12 9 4 3 18 6

• 
  Слайд 73
  

  5) По данным рисунка прямые AB и DE А) нельзя ответить Б) пересекаются В) параллельны A B E C D F 12 9 4 3 18 6

• 
  Слайд 74
  

  ОТВЕТЫ:

• 
  Слайд 75

  Помощь в управлении презентацией

  управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход Возврат в содержание Переход по слайдам Возврат к гиперссылке Справка