Содержание
-
Теория множеств
Теоремы теории множеств pptcloud.ru
-
Задание
Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные? Каждый десятый математик – шахматист, а каждый шестой шахматист – математик. Кого больше – шахматистов или математиков и во сколько раз?
-
Пример доказательства
Доказать, что для произвольных множеств A и B если A ⊂B, то В ⊂ A. Необходимо доказать, что В ⊂ A, поэтому структура доказательства будет иметь вид «Пусть a ∈ B, тогда…,…, тогда a ∈ A». Пусть a ∈ B, тогда по определению дополнения a ∈U \ B. Из определения разности множеств из того, что a ∈U \ B, следует, что aU иa∉ B. По условию задачи известно, что A⊂ B, т.е., что все элементы множества A есть в множестве B. Так как a ∉ B, то элемента a в множестве B нет, а следовательно его нет и в множестве A. Если элемента a нет в множестве A, то можно записать, чтоa ∉ A. Итак, мы установили, что a∈U иa ∉ A, а это значит, чтоa ∈ A. Аналогично доказывается обратное утверждение еслиB ⊂ A, то A ⊂ B.
-
Доказать,
относительно данного универсального множества U дополнение A любого множества A, если A⊂U, единственно. Для доказательства единственности дополнения A множества A⊂U предположим, что существует два множества B и C, каждое из которых удовлетворяет требованиям дополнения множества A, т.е. их пересечение с A пусто, а объединение с A дает U: а) B∩A=Ø; б) C∩A=Ø; в) B∪A=U; г) C∪A=U. Очевидно, что B=B∩U. С учетом условия г) B=B∩(C∪A)=. Так как B∩(C∪A)=(B∩C)∪(B∩A), то с учетом условия а) B=(B∩C)∪Ø=B∩C. Аналогично, исходя из условий в), б) получим: C=C∩U=С∩(B∪A )= (C∩B)∪(C∩A)=(C∩B)∪Ø=C∩B. Итак, мы получили, что B=B∩C и C=C∩B. Так как C∩B=B∩C (коммутативность операции пересечения), то B=C, что и требовалось доказать.
-
Основные законы теории множеств
1. Коммутативность операций ∪ и ∩: а) A∪B=B∪A б) A∩B=B∩A 2. Ассоциативность операций ∪и ∩: а) A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C б) A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C 3. Законыидемпотентности операций ∪ и ∩: а) A∪A=A б) A∩A=A 4. Законыдистрибутивности: а) A∪(B∩C)=(A∪B) ∩ (A∪С) б) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪ (A∩С) 5. Законыпоглощения: а) A∪(A∩B)=A б) A∩(A∪B)=A 6. Законыде Моргана: а) A ∪B =A ∩ B б) A ∩ B = A ∪B 7. Законыпустого и универсального множеств: A∪∅=A A∩∅= ∅ A∩ A=∅ A∪U=U A∩U=A A∪A=U U =∅ ∅ =U 8. Закон двойного отрицания: A = A
-
Доказать, что:
A⊂A; если A⊂B и B⊂C, то A⊂C; A∩B⊂A⊂A∪B; A∩B⊂B⊂A∪B; A\B⊂A.
-
Определить
какой знак из множества {=, ≠, ⊂, ⊃} можно поставить вместо символа «?», чтобы полученное утверждение было верным. {1, 3} ? {1, 2, 3}, {2, 3, 4} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}} ? {1, 2, 3}, {{1, 2}, {2, 3}, {1, 3}} ? {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, {(2, 1), (3, 2)} ? {(1, 2), (2, 3)}, {{1, 2}, {2, 3}} ? {{2, 1}, {3, 2}, {1, 3}}, {1, 2, 3} ? {x|x делитель 6}, Ø? {Ø}.
-
Какие из равенств верны для любых множеств А, В и С, привести подробное доказательство верных равенств. (A∩B)∪C=(А∪С)∩(В∪С); (A∪B)∩C=(А∩С)∪(В∩С); (A∪B)\C=(А\С)∪В; (A∩B)\C=(А\С)∩В; А\(В∪С)=(А\В)∩(А\С); А\(В∩С)=(А\В)∪(А\С).
-
Доказать
A∪B⊂C⇔A⊂C и B⊂C, A⊂B∩C ⇔A⊂B и A⊂C, A⊂B∪C ⇔ A∩B⊂C, A⊂B⇒C\B⊂C\A, A∩B=A∪B⇒A=B, A=B ⇔ A∩B=∅ и A∪B=U, A∆(A∆B)=B, A∪B=A∆B∆(A∩B), A∪B=(A∆B)∪(A∩B),
-
A\B=A∆(A∩B), A∆B=∅⇔A=B, A∩B=∅⇒A∪B=A∆B, A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), (A∪B)∩A=(A∩B)∪A=A, A∩(B\A)=∅, (A∩B)∪(C∩D)=(A∪C)∩(B∪C)∩(A∪D)∩(B∪D).
-
Задачи
Среди математиков каждый седьмой - философ, а среди философов каждый девятый - математик. Кого больше, философов или математиков? В гимназии все ученики знают хотя бы один из древних язы- ков — греческий или латынь, а некоторые — оба языка. 85% всех ребят знают греческий язык и 75% знают латынь. Какая часть учащихся знает оба языка? Какие трехзначные числа можно составить из цифр 3, 7 и 1 при условии, что в записи не должно быть одинаковых цифр? Сколько таких чисел?
-
Даны 1985 множеств, каждое из которых состоит из 45 элементов, причём объединение любых двух множеств содержит ровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множеств? Собрались 12 волейболистов и 9 теннисистов, а всего – 16 человек. Сколько из них играют и в волейбол, и в теннис? Множество А содержит 5 элементов, множество В – 4 элемента, а их пересечение содержит 2 элемента. Сколько элементов содержит объединение множеств А и В?
-
Задание
Из 100 студентов педагогику сдали 28 человек, математику - 30 человек, философию - 42 человека, педагогику и математику - 8, математику и философию - 5, педагогику и философию - 10, все три экзамена - 3 человека. Сколько человек не сдало ни одного экзамена? Дано множество А = {1, 2, 3, {1}, {1, 2}}. Укажите, какие из следующих объектов являются элементами множества А, и какие - подмножествами: 2; {2}; {1, 2}; {1, 3}; {1, {1}}; {{1}}; {1, {2}}, {1,2,{1, 2}}.
-
Задания
В Союзе писателей 32 человека, из них 17 поэтов и 19 прозаиков. Сколько человек пишут и стихи и прозу? Из группы студентов на занятия физкультурой ходят 20 человек, а в секции - 18, причем 15 человек одновременно ходят и в секции и на занятия по физкультуре. Сколько студентов освобождены от занятий спортом, если всего в группе 25 человек? Составьте множество двухзначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 2, 5 и 8. Найдите пересечение этого множества со множеством четных чисел.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.