Презентация на тему "Искусство орнамента" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Орнаменты. Уравнения орнаментов. Презентацию выполнила Ученица 10 «А» класса МОУ СОШ №5 Пирская Люба. 5klass.net

• 
  Слайд 2
  

  Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математике. Герман Вейль (известный математик)

• 
  Слайд 3
  

  Орнамент – это узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов для украшения каких – либо предметов или архитектурных сооружений. Орнаменты с давних времен применяются в декоративном искусстве.

• 
  Слайд 4
  

  С другой стороны, при исследовании геометрического строения кристаллов выявилось, что их атомы расположены очень правильным образом, образуя как бы пространственный орнамент. На рисунке изображены проекции пространственных решеток граната, кварца и каменной соли.

• 
  Слайд 5
  

  Бесконечная плоская фигура Ф называется плоским орнаментом, если выполнены следующие условия: (1) среди перемещений, отображающих Ф на себя, существуют неколлинеарные параллельные переносы. (2) среди всех векторов (параллельных переносов), отображающих Ф на себя, существует вектор наимень­шей длины. Если плоский орнамент Ф отображается сам на себя при поворотах вокруг точки А на углы, только кратные 360°/п, где п — натуральное число, большее 1, то точка А называется центром симметрии порядка п этого орнамента Ф.

• 
  Слайд 6
  

  Если плоская фигура отображается сама на себя при параллельных переносах только одного направления (и противоположному ему), причем среди этих переносов существует перенос наименьшей длины, то такая фигура называется линейным орнаментом - бордюром. Линейные орнаменты.

• 
  Слайд 7
  

  Кроме рассмотренных линейных орнаментов (бордюров) существуют плоские орнаменты, заполняющие плоскость без промежутков. Такие орнаменты называются паркетами

• 
  Слайд 8
  

  Рассмотрим на плоскости фигуру Ф — квадрат с заштрихованной половинкой, как на рисунке а, — а также два перемещения плоскости: - поворот вокруг вершины квадрата А на 90°, и f2 = Sa — симметрию относительно прямой а — продолжения стороны квадрата. Применим к фигуре Ф всевозможные композиции перемещений f1и f2— в произвольном порядке и в любом числе. В результате мы получим совокупность плоских фигур, конгруэнтных Ф — так называемый плоский орнамент (с фундаментальной областью Ф и порождающими перемещениями f1 и f2) Построение орнаментов.

• 
  Слайд 9
  

  Сначала мы забываем о заштрихованном треугольнике и применяем наши композиции только к квадрату. Повороты , , (рис. а) добавляют к исходному три квадрата. Применив к этим квадратам симметриюf2= Sa получим уже 8 квадратов — рисунок б. Повторив проделанную процедуру (последовательные повороты с последующей симметрией), получим картинку, изображенную на рисунке в. Ясно, что применение к исходному квадрату всех возможных композиций перемещений и дает сетку квадратов на плоскости — рисунок г. Теперь мы «вспоминаем» о заштрихованном треугольнике и перемещаем его по уже готовой сетке с помощью отображений , и их композиций (рис. г):

• 
  Слайд 10
  

  Если вместо треугольника в фундаментальной области — в квадрате Ф — заштриховать какую-нибудь другую «подфигуру», то наши построения дадут геометрически новый орнамент.

• 
  Слайд 11
  

  Это орнаменты разных типов: их группы симметрии устроены по-разному (имеют разные сетки осей симметрии или разные наборы порядков центров симметрии — разные «скелеты», — или же разные множества переносов). Начертив эти 15 орнаментов и их скелеты, можно подметить много интересных закономерностей.

• 
  Слайд 12
  

  Если добавить к этим орнаментам еще два, то получится полный «атлас» плоских орнаментов! Оказывается, существует только 17 различных типов орнаментов, или ровно 17 различно устроенных групп симметрии плоских орнаментов.

• 
  Слайд 13
  

  Уравнения орнаментов. Под математическим орнаментом мы будем понимать рисунок, характеризуемым каким – либо уравнением или неравенством (а может быть системой уравнений или системой неравенств), в котором многократно повторяется тот или иной узор.

• 
  Слайд 14
  

  Подбирая должным образом уравнения, можно получать самые разнообразные, подчас весьма причудливые картинки.

• 
  Слайд 15
  

  Посмотрим как они получаются. Линейный орнамент получается с помощью переносов некоторой основной фигуры вдоль некоторого направления. Если сам линейный орнамент считать основной фигурой и произвести над ним серию переносов вдоль нового направления, то мы получим двумерный орнамент. Повороты основной фигуры на углы, кратные , приводят к круговому орнаменту.

• 
  Слайд 16
  

  На рисунке в качестве основной фигуры F0 взята окружность с центром в начале координат и радиусом r = 1, её уравнение в декартовой системе координат: x2 + y2 = 1. Перенесем фигуру F0 вправо вдоль оси Ox на 2 единицы масштаба; она займет положение F1, а красная область прейдет в синюю. Уравнение окружности F1в той же системе координат записывается уже в виде .