Презентация на тему "Спецглавы математики"

Включить эффекты
1 из 41
Смотреть похожие
Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
0.0
0 оценок

Рецензии

Добавить свою рецензию

Аннотация к презентации

Посмотреть и скачать бесплатно презентацию по теме "Спецглавы математики". pptCloud.ru — каталог презентаций для детей, школьников (уроков) и студентов.

  • Формат
    pptx (powerpoint)
  • Количество слайдов
    41
  • Слова
    другое
  • Конспект
    Отсутствует

Содержание

  • Спецглавы математики
    Слайд 1

    Спецглавы математики

  • Слайд 2

    Введение

    На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а в силу того, что искомое решение обычно не выражается в элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ [1].

  • Слайд 3

    Численные методы

    Решение, полученное численным методом, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность. Источниками погрешности приближенного решения являются: -несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению; -погрешность исходных данных; -погрешность метода решения; -погрешность округлений в арифметических и других действиях над числами. Погрешность, обусловленная первыми двумя источниками, называется неустранимой.

  • Слайд 4

    Численные методы в большинстве случаев сами по себе являются приближенными, т.е. даже при отсутствии погрешности входных данных и при идеальном выполнении арифметических действий они дают решение исходной задачи с некоторой погрешностью, называемой погрешностью метода. Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность в несколько раз меньше неустранимой погрешности, а погрешность, возникающая за счет округлений, называется еще вычислительной погрешностью, по крайней мере, в несколько раз меньше погрешности метода.

  • Слайд 5

    1.Приближенные числа 1.1. Абсолютная и относительная погрешности

    Приближенным числом а называется число, которое незначительно отличается от точного числа А и заменяет последнее в вычислениях [6]. Если известно, что а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку; если а > А, – то по избытку. Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а ≈ А. Под ошибкой или погрешностью А приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т.е.

  • Слайд 6

    Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному значению числа прибавить его ошибку , т.е. Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа Из приведенной записи следует, что абсолютной погрешностью приближенного числа а называется модуль разности между соответствующими точным числом А и его приближенным значением а, т.е.

  • Слайд 7

    Точное число А чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти ошибку или абсолютную погрешность не представляется возможным. В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической погрешности ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т.е. Если в последней записи вместо использовать формулу (1,1), то можно записать

  • Слайд 8

    Отсюда следует, что точное число А заключено в границах Следовательно, разность есть приближение числа А по недостатку, а – приближение числа А по избытку. В этом случае для краткости пользуются записью Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее, чем положительное число, тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи число ,удовлетворяющее неравенству (1.2). Например, если в результате измерения получили длину отрезка l = 210 см ± 0,5 см., то здесь предельная абсолютная погрешность = 0,5 см, а точная величина l отрезка заключена в границах 209,5см≤l≤210,5см.  

  • Слайд 9

    Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности измерения или вычисления. Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты l1 = 95,6см ± 0,1см и l2 =8,3 ± 0,1 см, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, точность первого измерения выше, чем второго. Отсюда видно, что для точности измерений важнее не абсолютная, а относительная погрешность, которая зависит от значений измеряемых величин. Относительной погрешностью δ приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числа А, т.е.  

  • Слайд 10

    Аналогично предельной абсолютной погрешности используют также определение и для предельной относительной погрешности. Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа т.е. откуда следует Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять Так как на практике А≈а,то вместо формулы (1.3) часто пользуются формулой  

  • Слайд 11

    1.2 Десятичная запись приближенных чисел

    Всякое положительное десятичное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной дроби (1.4) где – десятичные цифры числа а (= 0,1,2,...,9), причем старшая цифра а m– число разрядов в записи целой части числа а, а n – число разрядов в записи дробной части числа а. Например: 5214,73... = 5 · 103 + 2 · 102 + 1 · 101 + 4 · 100 +7 · 10-1 + 3 · 10-2... (1.5) Все сохраняемые десятичные значения (i= m,m-1,…, m-n+1), отличные от нуля, и нуль, если он стоит между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда в конце числа называются значащими цифрами приближенного числа а. При этом нули, связанные с множителем 10n к значащим не относятся.

  • Слайд 12

    Определение (в широком смысле). Говорят, что n первых значащих цифр числа (считая слева направо) являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы (веса) n-горазряда. (Пояснение: 1 101 – здесь вес 1 равен 10; 1 100 – здесь вес 1 равен 1; 1 10-1 – здесь вес 1 равен 0,1; 1 10-2 – здесь вес 1 равен 0,01 и т.д.). Определение (в узком смысле). Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы (веса) n-горазряда. (Пояснение: 1 101 – здесь вес половины 1 равен 5; 1 100 – здесь вес половины 1 равен 0,5; 1 10-1 – равен 0,05 и т.д.).

  • Слайд 13

    Например, в приближенном числе исходя из первого определения, значащие цифры 3,4 и 5 верные в широком смысле, а цифра 6 – сомнительна. Исходя из второго определения, значащие цифры 3 и 4 являются верными в узком смысле, а цифры 5 и 6 – сомнительные. Важно подчеркнуть, что точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. Как в теоретических рассуждениях, так и в практических применениях большее применение находит определение верной цифры в узком смысле. Таким образом, если для приближенного числа а, заменяющего число А, известно, что то, по определению, первые n цифр этого числа являются верными. (1.6)

  • Слайд 14

    Например, для точного числа А = 35,97 число а = 36,00 является приближенным с тремя верными знаками. К этому результату приводят следующие рассуждения. Так как абсолютная погрешность нашего приближенного числа составляет величину 0,03, то по определению она должна удовлетворять условию В нашем приближенном числе 36,00 цифра 3 является первой значащей цифрой (т.е. ), поэтому m = 1. Отсюда очевидно, что условие (1.7) будет выполняться при n = 3.

  • Слайд 15

    1.3 Округление чисел

    Для записи приближенного числа используют только верные цифры. Неверные цифры отбрасывают, руководствуясь следующими правилами: 1.Если отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется. 2.Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Последняя сохраняемая цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр есть 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля. Например, если число 0,3754 округляется до трех значащих цифр, то округленное число будет 0,375, а если до двух, то округленное число будет 0,38. 3.Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры). Например, число 0,435 округляем до 0,44; а число 0,465 округляем до 0,46.

  • Слайд 16

    Если при записи приближенного числа необходимо учитывать погрешность, то порядок округления должен быть следующим. 1. Округление следует начинать с погрешности, оставляя в ней одну или две значащие цифры. Если первая цифра – единица или двойка, то после округления в записи погрешности оставляют две значащие цифры. Если же первая значащая цифра больше двойки, то в записи погрешности оставляют одну значащую цифру. Примеры.

  • Слайд 17

    2. Далее округляется сама вычисляемая или измеряемая величина. Причем ее последняя значащая цифра должна находиться в той же позиции, что и последняя значащая цифра погрешности. Примеры. Из приведенных примеров видно, что если в погрешности присутствуют всего одна или две значащие цифры, то в самом результате после округления количество значащих цифр должно быть не меньше, чем в погрешности, причем последние значащие цифры в обоих числах стоят на одной и той же позиции.

  • Слайд 18

    3. Если при округлении погрешности указан множитель (порядок), т.е. 10n, то такой же порядок должен быть и у самой величины. При этом оба числа заключаются в скобки, и после них записывается множитель 10n. Примеры.

  • Слайд 19

    1.4. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков

    Теорема (без доказательства). Если положительное приближенное число а имеет п верных десятичных знаков, то относительная погрешностьэтого числа не превосходит величину , деленную на первую значащую цифру данного числа, т.е. где – первая значащая цифра числа а. За предельную относительную погрешность числа a можно принять

  • Слайд 20

    Если число а имеет больше двух верных знаков, т.е. п ≥ 2, то практически справедлива формула Пример. Какова будет предельная относительная погрешность, если вместо числа π использовать а = 3,14? Решение. В нашем случае ип = 3, поэтому Для решения обратной задачи определения количества верных знаков числа а, если известна его относительная погрешность,обычнопользуются приближенной формулой где – абсолютная погрешность числаа (а > 0). Отсюда  

  • Слайд 21

    Если то числоаимеетп верных знаков, что следует из формулы (1.6) Пример. Приближенное число а = 24253 имеет относительную точность1%. Сколько в нем верных знаков? Решение. Исходя из абсолютной погрешности, определяемой формулой (1.9), запишем В заданном числе а = 24253 первой значащей цифре 2 соответствует m = 4. Поэтому можем записать Из последнего неравенства следует, что оно может выполняться лишь при n = 2. Следовательно, в числеа будут верными лишь первые две цифры.

  • Слайд 22

    1.5. Погрешность суммы и разностиприближенных чисел

    Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел. Пример 1. a1 = 25,74 ± 0,02; a2 = 96,42 ± 0,03; a1 + a2 = 122,16 ± 0,05,т.е. |ΔΣ | = |Δа1| + |Δа2| = 0,02 + 0,03 = 0,05. Пример 2.и=2,72+3,00+2,11=7,83; Δи=0,005+0,005+0,005=0,015. Округляя до одного знака после запятой и учитывая погрешность округления, получим и = 7,8±0,015, т.е. в записи и = 7,8 все цифры верны. Пример 3. Необходимо сложить два приближенных числа 265 и 32. Пусть предельная погрешность первого числа равна 5, а второго – 1. Тогда предельная погрешность суммы равна 6. Так, если истинное значение первого числа есть 270, а второго 33, то приближенная сумма будет 265 + 32 + 297, т.е. она на 6 единиц меньше истинной 270 + 33 = 303.

  • Слайд 23

    Пример 4. Найти сумму приближенных чисел 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588 +0,0556 + 0,0526. Результатом сложения является число 0,6187. Поскольку предельная погрешность каждого слагаемого есть 0,00005, то предельная погрешность суммы будет 0,00005 9 = 0,00045. Значит, в последнем (четвертом) знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. до тысячных. В результате получаем число 0,619, в котором все три цифры являются верными. При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей. Поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Иначе говоря, при значительном числе суммирования приближенных чисел их сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых. Это происходит благодаря взаимной компенсации погрешностей суммируемых чисел.

  • Слайд 24

    Пример 5. Пусть предельная погрешность приближенного уменьшаемого 85 равна 2, а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3. Предельная погрешность разности 85–32=53 есть 2+3=5. Действительно, истинные значения уменьшаемого и вычитаемого могут равняться 85+2=87 и 32–3=29. Тогда истинная разность будет 87–29=58. Она на 5 единиц отличается от приближенной разности, равной 53. Однако надо иметь ввиду, что в противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое отдельно взятые. Эффект «потери точности» особенно велик в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

  • Слайд 25

    Пример 6. Измерение внешнегои внутреннего диаметров тонкостенной трубки дало результаты мм, мм. Вычислим по этим данным толщину стенки трубки. Предельная абсолютная погрешность уменьшаемого и вычитаемого одна и та же: 0,05. Относительная погрешность уменьшаемого и вычитаемого тоже примерно одинакова, а именно: Толщина стенки трубки мм. Предельная абсолютная погрешность числа тоже будет 0,05, а относительная погрешность уже составит величину

  • Слайд 26

    1.6. Погрешности произведения и частного

    Если при записи погрешностей отдельных измерений или расчетов, а также сумм и разности приближенных чисел пользуются как абсолютной, так и относительной погрешностями, то для погрешностей произведений и частного предпочтительнее пользоваться относительными погрешностями. С чем это связано, рассмотрим на примерах. Пример 7. Пусть даны два приближенных числа: и Относительные погрешности этих чисел соответственно равны: Найдем произведение этих приближенных чисел:

  • Слайд 27

    В качестве погрешности в результате умножения пока поставлен знак вопроса, поскольку пока не ясно, что там нужно писать. Для выяснения этого вопроса определим возможное максимальное значение результата умножения и возможное минимальное значение. Максимальное значение не может превышать число , а минимальное значение не может быть меньше числа Для максимального значения произведения абсолютная погрешность будет Для минимального значения –

  • Слайд 28

    Ни одну из этих абсолютных погрешностей нельзя получить ни сложением, ни умножением погрешностей ( и ) исходных приближенных чисел. То есть их нельзя использовать вместо знака вопроса в приведенном выше результате умножения. Попробуем использовать для этой цели относительные погрешности. Очевидно, нам нужно использовать относительные погрешности для максимального (1071) и минимального (931) результатов умножения, которые соответственно равны:

  • Слайд 29

    Пример 8. Найдем относительную погрешность произведения двух приближенных чисел a = 6,32иb = 0,783. Определим сначала их относительные погрешности. Решение выполним двумя способами: использованием формулы (1.8) и использованием предельных абсолютных погрешностей, как это делалось в предыдущем примере. В соответствии с формулой (1.8) будем иметь Напомним, что – это первая значащая цифра числа a, n – общее число значащих цифр в этом числе. Абсолютная относительная погрешность аналогично будет равна Отсюда

  • Слайд 30

    Теперь определим вторым способом. Предельная абсолютная погрешность чисел a иb явно не указаны. Но в этом случае, пользуясь правилом, что при правильной записи приближенного числа указываются только верные цифры, получим Предельные относительные погрешности соответственно будут равны:

  • Слайд 31

    Пример 9. Пусть необходимо определить приближенное значение частного двух приближенных чисел из примера 7. Рассуждаем аналогично. Очевидно, что истинное значение частного не превышает величины поэтому абсолютная предельная погрешность будет С другой стороны истинная величина частного не может быть меньше, чем Поэтому Соответственно относительные погрешности и будут: а общая величина погрешности составляет величину, близкую к 14%.

  • Слайд 32

    2. Численное решение уравнений и систем. 2.1. Общие соображения

    Далеко не всякое уравнение может быть решено точно. Однако точное решение уравнения не всегда является обязательным. Задача отыскания корней уравнения может считаться фактически решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности и указать пределы возможной погрешности. Большинство применяемых приближенных способов решения уравнений являются способами уточнения корней, т.е. для их применения необходимы примерные значения корня. Для этой цели могут служить графические способы. Пусть рассматриваемое уравнение имеет вид ƒ(х) = 0 (2.1) Построим в декартовой системе координат схематический график функцииу = f(x). Абсциссы точек пересечения построенной кривой с осьюОх дадут нам значения действительных корней уравнения (2.1).

  • Слайд 33

    После того как схематический график построен и примерно выделены участки оси абсцисс, в которых будут лежать корни функции (этот процесс называется отделением корней), приступают к уточнению значений корней. Все эти способы имеют одно общее свойство, состоящее в том, что нам должен быть известен интервал [а, b], в котором лежит уточняемый корень уравнения. Выбор этого интервала производится на основании известного свойства непрерывных функций: если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)·f(b) < 0, то между точкамиа иb имеется хотя бы один корень уравненияf(x)= 0. Для уточнения значения корня нужно производить сужение интервала [а, b]. Делать это можно следующим образом. Выбираем какую-либо точку с, лежащую внутри интервала [а, b] (обычно за точкуспринимают середину отрезка [а, b]), и вычисляем значение f(c). В качестве нового интервала мы примем ту из этих двух половинок интервала [а, b], на концах которого функция имеет разные знаки.

  • Слайд 34

    Таким путем можно получить приближенное значение корня с любой степенью точности. Вместе с тем мы получаем и оценку точности приближенного решения. Однако, несмотря на принципиальную простоту, такой подход на практике не всегда используется, так как часто требует слишком большого количества вычислений; поэтому мы рассмотрим другие способы уточнения корня. В случае применения этих способов необходимо, чтобы на рассматриваемом интервале [а, b] функция f(x) удовлетворяла следующим условиям: -функцияf(x) непрерывна на отрезке [а, b] вместе со своими производными первого и второго порядков; -значения f(x)на концах отрезка [а, b] имеют разные знаки; -первая и вторая производные сохраняют определенный знак на всем отрезке. Эти условия гарантируют, что корень уравнения (2.1) содержится интервале и других корней в этом интервале не имеется.

  • Слайд 35

    2.2.Способ хорд и способ касательных

    Эти способы являются наиболее распространенными в случае приближенного решения. Идея способа хорд состоит в том, что можно с известным приближением допустить, что функция на достаточно малом интервале [а, b] изменяется линейно. Тогда кривуюу=ƒ(х) на интервале [а, b] можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения хорды с осью абсцисс [7] – рис. (2.1).

  • Слайд 36

    Заменив кривую ММ’ хордойММ’ мы используем в качестве приближенного значения корня абсциссу точки В, в которой хорда пересекается с осью абсцисс. Напишем уравнение прямой, проходящей через точкиM(a,f(a)) и M’(b,f(b)) Абсцисса точки В, являющаяся приближенным корнем х1, уравнения ƒ(х) = 0, может быть найдена из уравнения прямой (2.2), если положить в нему = 0. Тогда будем иметь Уравнение рассматриваемой прямой можно записать и в таком виде Полагая здесь y = 0, получим

  • Слайд 37

    Полученное значениех1 можно снова использовать для дальнейшего уточнения корня по способу хорд, рассматривая интервал [а, x1] или же [x1, b] и исходя из того, в каком из них лежит истинный корень. Чтобы определить это, находят знак ƒ(х1). Пример. Найдем по способу хорд положительный корень уравнения ƒ(х) = x3 – 2x2 + 3x – 5 = 0. Сначала определим знаки функции в различных точках и результаты сведем в табл. 2.1 Вычисление значений данной функции дает ƒ(1,8) = – 0,248; ƒ(1,9) = + 0,339. По формуле (2.3) получим:

  • Слайд 38

    Вычислив значение функции при х = 1,842, находим: ƒ(1,842 ) = – 0,01009 < 0. Отсюда видно, что истинный корень расположен в интервале [1,842;1,9]. Снова применив к этому интервалу способ хорд, получим ƒ(1,8437) < 0, ƒ(1,8438) > 0. Видим, что значение корня находится в интервале между 1,8437 и 1,8438. Полагая значение корня равным х=1,84375, можно утверждать, что погрешность полученного приближения меньше 0,00005.

  • Слайд 39

    Способ Ньютона(касательных). Снова обратимся к уравнению ƒ(х) = 0. Введем некоторую точку с интервала [а, b] и проведем в точке[с, ƒ(с)] заданного графика функции касательную к этому графику – (рис. 2.2).

  • Слайд 40

    Уравнение касательной имеет вид y – ƒ(c) = ƒ’(c)(x-c). (2.5) В качестве приближенного корня уравнения ƒ(x) = 0 примем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох. Уравнение касательной приу= 0, исходя из (2.5), пересекает ось абсцисс в точке На рис. 2.2 мы приняли с = b. Нетрудно видеть, чтов этом случае ƒ’(c) > 0 и ƒ”(с) > 0, так как кривая вогнута. Обычнопринимают c = aили с = b, в зависимости от того, в какой из этих точекзнак функциисовпадает со знаком второй производной, т. е. с выбираюттак, чтобыпроизведение ƒ(c)·ƒ“(c) было положительным. В этомслучаеможногарантировать, что приближенное значение корня лежит винтервале [а, b], т. е. что а<х2

  • Слайд 41

    Пример. Рассмотрим то же уравнение, что и в предыдущем случае: x3 – 2x2 + 3x – 5 = 0 Здесь ƒ'(x) = 3x2 – 4x + 3иƒ”(x) = 6x – 4.Из табл. 2.1 выберем интервал [1,8;1,9].Тогдаƒ'(x) > 0и ƒ”(x) > 0.Если принятьс=а,то ƒ(c)ƒ”(c) <0, так как ƒ (1,8) <0. При с =b = 1,9имеемƒ (с)·ƒ"(с) > 0, так что касательную следует проводитьв точкес = b. По формуле(2.6) определяем Так как ƒ(1,846) = 0,0132, то в интервале [1,8;1,846] можновновьприменить метод касательных, полагая с = 1,846. Снова используя формулу (2.6), получим Из полученного результата видим,что погрешность полученного решения не превышает 0,00005.

Посмотреть все слайды

Предложить улучшение Сообщить об ошибке