Презентация на тему "Колебания"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Колебания-1. Гармоническое колебание и его характеристики. Модель гармонического осциллятора. Уравнение свободных колебаний модельных систем (груз на пружине, математический и физический маятники). Сложение колебаний. Биения.

• 
  Слайд 2
  

  Колебания – процессы, отличающиеся повторяемостью. В зависимости от природы бывают: механическими, электромагнитными, электромеханическими. Механическими колебаниями называются периодические (или почти периодические) изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение, кинетическая и потенциальная энергия и т. п.), это движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Свободные (собственные) колебания- колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия. Вынужденные- колебания, в процессе которых система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Параметрические колебания- колебания, при которых происходят периодическое изменение какого-либо параметра системы.

• 
  Слайд 3
  

  Рассмотрим систему, состоящую из шарика подвешенного на пружине. В состоянии равновесия- сила тяжести уравновешивается силой упругости: X-смещение из положения равновесия, нуль совмещен с положением равновесия. Сместим из положения равновесия, то удлинение равно: Проекция результирующей силы на ось х: Работа для смещения на x против квазиупругой силы: - квазиупругая сила Потенциальная энергия системы при смещении из положения равновесия: Кинетическая и потенциальная энергии взаимнопревращаются.

• 
  Слайд 4
  

  Уравнение второго закона Ньютона для шарика: Обозначим и получим: Движение шарика под действием силы описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка: Общее решение имеет вид: Движение системы, находящейся под действием квазиупругой силы представляет собой гармонические колебания.

• 
  Слайд 5
  

  Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t). Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания-колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса или синуса:x = xmcos(ωt + φ0). Здесь x – смещение тела от положения равновесия,xm– амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний: ν=1/T. Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической (круговой) частотой ω и периодом колебаний T соотношениями: w=2π/T = 2πν

• 
  Слайд 6
  

  Смещение: Скорость: Ускорение: Ускорение и смещение в противофазе! Кинетическая энергия равна: Потенциальная энергия равна: Полная энергия: Ек и Ер изменяются с частотой в два раза превышающие частоту гармонических колебаний. Среднее значение Ек = среднему значению Ер = ½ Е

• 
  Слайд 7
  

  Систему, описываемую уравнением: где w02- постоянная положительная величина, называют гармоническим осциллятором. Решение имеет вид: Гармонический осциллятор представляет собой систему, совершающую гармонические колебания около положения равновесия. Импульс гармонического осциллятора: Импульс как функция от координаты –фазовая траектория: Плоскость (p,x) – фазовая плоскость. Полная энергия гармонического осциллятора = произведению собственной частоты и площади эллипса: ,

• 
  Слайд 8
  

  Математический маятник- идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Отклонение маятника от положения равновесия описывается углом φ. Вращательный момент при отклонении маятника(«-» - стремится вернуть маятник в положение равновесия): Уравнение динамики вращательного движения: Рассмотрим малы колебания sin φ≈φ и обозначим g/l= w02: Решение имеет вид: - угловое отклонение изменяется по гармоническому закону. Период колебания математического маятника:

• 
  Слайд 9
  

  Физическим маятником называется твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. Вращательный момент, возникающий при смещении из положения равновесия: где m – масса маятника,l- расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника. Уравнение динамики вращательного движения: Рассмотрим малы колебания sin φ≈φ и обозначим mgl/I= w02: Отклонение от положения равновесия описывается гармоническим законом! Частота колебаний зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния от оси вращения до центра масс

• 
  Слайд 10
  

  Период колебания физического маятника: Приведённая длина – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника: Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащей на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качения физического маятника. Подставим теорему Штейнера:I=I0+ml2 и получим: Приведённая длина всегда больше l! Точка подвеса и центр качения лежат по разные стороны от центра инерции. Период колебаний:

• 
  Слайд 11
  

  Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой. Пусть колебания заданы уравнениями: Отложим из точки О вектор  под углом φ1 и вектор  под углом φ2. Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени. Такие колебания называют когерентными.      Суммарная проекция вектора А равна сумме проекций на ось:результирующее колебание изображено вектором амплитуды А=А1+А2, вращающимся вокруг точки О с угловой скоростью ω. Результирующее колебание : Метод векторных диаграмм

• 
  Слайд 12
  

  По правилу сложения векторов, суммарная амплитуда: Результирующая амплитуда: Начальная фаза:       Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз .

• 
  Слайд 13
  

  При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты результирующее движение можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой- такие колебания - биения wи a– частота и амплитуда 1-ого колебания w+∆wиa- частота и амплитуда 2-ого колебания, ∆w<

• 
  Слайд 14
  

  - это есть периодическая функция с частотой ∆w. Частота пульсаций амплитуды называют частотой биения, равной разности частот складываемых колебаний. Амплитуда положительная величина:

• 
  Слайд 15

  Сложение двух взаимноперпендикулярных колебаний

  Два колебания с частотой wсовершаются в направлении осей x и y. Начальная фаза первого колебания равна 0. Уравнения колебаний: α – разность фаз колебаний Преобразуем: Получили уравнение эллипса с осями вдоль x и y. Ориентация и величина полуосей эллипсов зависит от амплитуд a иbи разности фаз α

• 
  Слайд 16
  

  1) α= 0 Уравнение: 2) α=±π Уравнение: Результирующее движение – гармонические колебания вдоль прямой с частотой wи амплитудой:

• 
  Слайд 17
  

  3) α=±π/2 - Уравнение: α=π/2 Уравнение: Движение по часовой стрелке α= - π/2 Уравнение: Движение против часовой стрелки Равномерное движение по окружности есть сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний: «+» - против часовой стрелки, «-»-по часовой стрелки.

• 
  Слайд 18

  Фигуры Лиссажу:

  - замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях с разыми частотами. Отношение частот 1:2 и разность фаз π/2 Отношение частот 1:2 и разность фаз 0 a/b – от 0 до 1 разность фаз 0