Содержание
-
Механические колебания
-
Периодическим называется повторяющееся движение, у которого каждый цикл в точности воспроизводит любой другой цикл. Продолжительность одного цикла называется периодом. Период равномерного вращения равен продолжительности одного оборота. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. В зависимости от природы повторяющегося процесса различают колебания: Механические, Электромагнитные, Электромеханические и др.
-
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают: Свободные (собственные) колебания, Вынужденные колебания, Автоколебания, Параметрические колебания. Свободными называются такие колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий.
-
Свободные колебания
Свободными называются такие колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий.
-
Вынужденные колебания
Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической изменяющейся силы.
-
Автоколебания
Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако, моменты времени, когда осуществляются эти воздействия задаются самой колеблющейся системой.
-
Параметрические колебания
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы.
-
Гармонические колебания
Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется по закону синуса или косинуса.
-
Т=2π– период, А –амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины), ϕ – начальная фаза колебаний(рад), t – время колебаний (с), Х – колеблющаяся величина (удаление от положения равновесия в любой момент времени).
-
ῳ₀- круговая (циклическая) частота, (ῳ₀t +ϕ) – фаза колебаний в момент времени t (рад),
-
Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени Т.
-
-
Уравнение гармонического осциллятора
Гармонические колебания описываются законом А – амплитуда колебаний, ω₀t + ϕ˳ - фаза колебаний, ω˳- собственная частота колебаний (рад/с). Для характеристики колебаний вводят понятие периода Т Т= - время одного колебания и частоты ν== , определяющей число колебаний в единицу времени (Гц).
-
-
Дифференцируя дважды по времени уравнение Х(t)= A получаем =V= - Аω˳Аω˳ +ϕ˳+ ), =а = -А = - Амплитуды скорости и ускорения равны соответственно Аω˳ и А Это дифференциальное уравнение второго порядка и у него есть дванезависимых решения: А и А
-
Энергия механической системы при гармонических колебаниях
Сила F=ma, действующая на колеблющуюся материальную точку массой m F=-mx Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону (сторону равновесия).
-
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания
-
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F
-
Полная энергия Е=Т + П= Полная энергия механической системы при гармонических колебаниях сохраняется Е=const Кинетическая и потенциальная энергии – периодические функции с периодом, равным половине периода колебаний.
-
Превращение механической энергии при гармонических колебаниях
Кинетическая и потенциальная энергии колеблются в противофазе: когда кинетическая энергия достигает максимума, значение потенциальной энергии минимально.
-
Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида + s=0 (x=s) Разница между физическими системами заключена в определении величины ω˳и в физическом смысле переменнойs: это может быть координата (смещение), угол, заряд, ток и т.д. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.
-
Пружинный маятник
Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k – коэффициент жесткости.
-
Запишем уравнение 2-го закона Ньютона или Из уравнения гармонического осциллятора вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х=Аt+ϕ) с циклической частотой и периодом Потенциальная энергия пружинного маятника П=
-
Физический маятник
-это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела.
-
Отклоним маятник из положения равновесия на угол α. Запишем уравнение динамики вращательного движения твердого тела M= I ԑ = I ℓ = - mgℓ≈ ≈ - mgℓα , где I –момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О; М – момент возвращающей силы; ℓ - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника;
-
=-mg≈ mgα – возвращающая сила. I + mgℓ = 0 + α =0 ω˳= + α =0 Решение этого уравнения α = + ϕ)
-
При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω˳ и периодом Т = =2π = 2π, где L = - приведенная длина физического маятника.
-
Точка О′ - центр качаний физического маятника. По теореме Штейнера L = = = ℓ + ˃ ℓ ОО′ всегда больше ОС. Точка подвеса О и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости.
-
Математический маятник
- это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющейся под действием силы тяжести. Момент инерции математического маятника I = mℓ - длина маятника.
-
Период малых колебаний математического маятника Т = 2π Если приведенная длина L физического маятника равна длине ℓ математического маятника, то их периоды колебаний одинаковы.
-
Представление гармонических колебаний методом векторных диаграмм
Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А на плоскости. Вектор А равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью, равной циклической частоте ω˳.
-
Проекция точки А на ось ОХ: Х= АА Проекция точки А на ось OY: Y = А А ϕ =(ω˳t + ϕ˳) - угол, равный фазе колебаний в данный момент времени.
-
Сложение гармонических колебаний
Под сложением колебаний понимают нахождение закона результирующих колебаний, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая: сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Например, груз подвешен на пружине к потолку рессорного вагона. Груз будет совершать колебания относительно точки подвеса, которая в свою очередь совершает колебания на рессорах вагона. Т.о. груз будет совершать движение, складывающееся из двух колебаний одного направления.
-
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
-
-
Проанализируем выражение для амплитуды результирующего колебания в зависимости от разности фаз (2—1): 1) 2—1 = ±2m (т=0, 1, 2, ...), тогда A=A1+A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равнасумме амплитуд складываемых колебаний; - )= 1; 2) 2—1 = ±(2m+1) (т=0, 1, 2, ...), тогда A=|A1–A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний; - )=-1.
-
Биения
Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами называются биениями (амплитуды этого колебания, то увеличиваются, то уменьшаются). А – амплитуды складываемых колебаний, ω и (ω+Δω) – частоты складываемых колебаний, причем Δω ˂˂ω, = 0 – начальные фазы колебаний одинаковы и =0,
-
- результирующее колебание при условии Δω/2˂˂ω - амплитуда биения частота биений период биений
-
Сплошные линии – график результирующего колебания, Огибающие их (пунктирные) – график медленно изменяющейся амплитуды.
-
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Колебания происходят во взаимно перпендикулярных направлениях х и у с одинаковой частотой ω, начальная фаза первого колебания =0, тогда α – разность фаз колебаний, А и В – амплитуды складываемых колебаний.
-
Уравнение результирующего колебания у = у (х). Уравнение эллипса. Такие колебания называются эллиптически поляризованными. Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α.
-
1. α=mπ (m=0,±1,±2, …) Эллипс вырождается в отрезок прямой, где знак (+) соответствует нулю и четным значениям m, а знак (-) –нечетным значениям m. m= 0,±2,±4, …
-
Результирующее колебание является гармоническим с частотой ω и амплитудой Такие колебания называются линейно-поляризованными. m= ±1,±3
-
2. α=(2m+1)π/2 m=0,±1,±2, уравнение имеет вид эллипса.
-
Если А=В, то эллипс вырождается в окружность – это колебания поляризованные по кругу. В общем случае произвольной разности фаз α получаем уравнение эллипса, но с повернутыми осями.
-
Фигуры Лиссажу – замкнутые траектории результирующего колебания, если частоты складываемых колебаний различны (могут быть различны разности фаз).
-
Фигуры Лиссажу
-
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
Свободные затухающие колебания- это колебания амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является превращение ее в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах.
-
Незатухающие колебания Затухающие колебания
-
Линейная система–пружинный маятник Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Рассматривают линейные системы – идеализированные реальные системы, в которых параметры , определяющие свойства системы в ходе процесса не изменяются.
-
S – колеблющаяся величина (переменная) – смещение, заряд и др. δ = const – коэффициент затухания, ω˳- циклическая частота свободных незатухающих колебаний, δ = 0 – отсутствие потерь энергии. 1
-
Пусть δ˂ω˳ , Тогда вводим параметр = - Получаем уравнение + u = 0 – - уравнение гармонических колебаний, решение которого u = A˳ + ϕ) Решение уравнения (1) имеет вид u, (2) где u=u(t)– новая переменная Дифференцируем ур. (2) дважды и используя (1) Получаем - u = 0
-
Общее решение уравнения затухающих колебаний S = A˳ + ϕ) ω = Пусть δ˂˂ω˳ - В этом случае движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотойωи амплитудой А = А˳ А˳ - начальная амплитуда
-
δ – коэффициент затухания определяет скорость уменьшения амплитуды колебаний, τ = - время релаксации – промежуток времени , за который амплитуда уменьшается в e раз. Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами.
-
Тогда период затухающих колебаний Т = =
-
Если А(t) и А(t + T) – - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то соотношение = - декремент затухания, Логарифм декремента затухания θ = = δ t = = - логарифмический декремент затухания - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.
-
Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q Q = = π= = при δ ˂˂ ω˳ Т = Т˳ Из формулы (3) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за время релаксации. 3
-
При увеличении затухания частота колебаний ω = стремится к нулю. При δ → ω˳ период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим При δ ≥ ω˳ движение носит апериодический характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.
-
Свободные затухающие колебания пружинного маятника
Для пружинного маятника массой m, совершающего малые колебания под действием упругой силы = - r v = - r r – коэффициент сопротивления, знак ( - ) указывает на противоположные направления силы трения и скорости. Закон движения маятника m = - k x – r Используя ω˳ = и δ = Получаем дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника + 2δ + x = 0
-
Маятник колеблется по закону X = A˳ c частотой ω = Добротность пружинного маятника Q = =
-
Вынужденные колебания
Если на колебательную систему действует внешняя периодическая сила, то в системе устанавливаются незатухающие колебания, которые называются вынужденными. Внешняя вынуждающая сила F = Где - амплитуда силы, ω – ее круговая частота.
-
С учетом вынуждающей силы закон движения для пружинного маятника запишется в виде m = -kx - r + Используя ω˳ = и δ = Получаем уравнение + 2δ + x = () Опыт показывает, что при воздействии на пружинный маятник вынуждающей силы груз совершает установившиеся гармонические колебания с частотой этой силы.
-
Таким образом вынужденные колебания происходят по закону х = А + ϕ) Можно показать , что при ϕ = 0 амплитуда смещения А = Так как амплитуда – положительная величина, то выражение (4) имеет смысл, когда круговая частота вынуждающей силы ω меньше собственной круговой частоты системы ω˳ (ω˂ω˳). В этом случае колебания системы происходят в одной фазе с колебаниями силы. Если ω˃ω˳, то колебания системы происходят в противофазе с колебаниями силы (ϕ= -π), а для амплитуды смещения берут модуль выражения (4). 4
-
Резонанс
При совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы (ω = ω˳) выражение (4) теряет смысл, ибо делить на нуль нельзя. При ω→ω˳ А →∞ что не имеет физического смысла. Это означает, что в данном случае нельзя пренебрегать затуханием. Случай, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы, называется резонансом.
-
Резонансная амплитуда смещения = = = Q где = = - Отклонение род действием постоянной силы.
-
Вдали от резонанса график строится по формуле (4). При частотах, близких к собственной частоте, амплитуда А близка к резонансной амплитуде.
-
Процесс установления вынужденных колебаний
Раскачка колебаний при резонансе происходит по закону Х = ω˳ - частота свободных колебаний. При отсутствии трения наблюдался бы беспредельный рост амплитуды.
-
На самом деле рост амплитуды продолжается лишь до тех пор, пока работа сил трения не уравновесит работу вынуждающей силы. Этим условием и определяется установившаяся резонансная амплитуда. Время нарастания колебаний при резонансе вдвое больше времени релаксации свободных колебаний = 2τ
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.