Презентация на тему "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

Презентация: Обыкновенные дифференциальные уравнения
1 из 26
Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
4.0
1 оценка

Комментарии

Нет комментариев для данной презентации

Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.


Добавить свой комментарий

Аннотация к презентации

Смотреть презентацию онлайн на тему "Обыкновенные дифференциальные уравнения" по математике. Презентация состоит из 26 слайдов. Материал добавлен в 2017 году. Средняя оценка: 4.0 балла из 5.. Возможность скчачать презентацию powerpoint бесплатно и без регистрации. Размер файла 0.19 Мб.

  • Формат
    pptx (powerpoint)
  • Количество слайдов
    26
  • Слова
    математика
  • Конспект
    Отсутствует

Содержание

  • Презентация: Обыкновенные дифференциальные уравнения
    Слайд 1

    Ст. преп., к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович 2010

  • Слайд 2

    Обыкновенные дифференциальные уравнения

    Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала). Пример:y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнениеобращает его втождество.

  • Слайд 3

    ОДУ первого порядка Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида: где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция Общее решение: Пример:общее решение:

  • Слайд 4

    Разделяют несколько типов (видов) обыкновенных дифференциальных уравнений:-Уравнения с разделяющимися переменными, -Однородные уравнения, -Линейные уравнения, -Уравнение в полных дифференциалах, -и т.д. Остановимся подробнее на каждом из этих типов уравнений.

  • Слайд 5

    Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию f(x)dx + g(y)dy = 0, Интегрируя, получим                          - общий интеграл (общее решение) этого уравнения. Пример: - общее решение

  • Слайд 6

    Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными: Записываем уравнение в форме: затем делим на g(y) и умножаемна dx:                   . Это уравнение - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общий интеграл:

  • Слайд 7

    Выразим у из последнего выражения как функцию х, получим общее решение: Пример:

  • Слайд 8

    Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов: Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x)заменой:              Подставляя в уравнение y = x·u, y ′ = u + x·u ′, получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u

  • Слайд 9

    Пример:                                                                                                                                                                  - общее решение уравнения

  • Слайд 10

    Окончательно, получим общее решение: Пример:

  • Слайд 11

    Линейные уравнения.ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени: здесь p(x), q(x) - непрерывные функции. Пример:

  • Слайд 12

    Для решения уравнения представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x)иv(x):y(x) = u(x)v(x). Тогда и уравнение приводится к виду: или Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными: затем находим u(x) из уравнения:           

  • Слайд 13

    Отметим, решая уравнение на v(x) мы не вводим в это решение произвольную постояннуюC, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками.       Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

  • Слайд 14

    Пример:                             Решение: и общее решение уравнения              .

  • Слайд 15

    Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям (задача Коши), подставим в общее решение                             Решение задачи:              

  • Слайд 16

    Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида (P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие:          Если - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна 0, т.е. принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x,y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах. P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

  • Слайд 17

    Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого уравнения этой системы находим: с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции       (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x. Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы (т.е. ), получим дифференциальное уравнение из которого можно найти .

  • Слайд 18

    Пример: найти общее решение уравнения Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах.                             .

  • Слайд 19

    Задание: К какому типу относятся дифференциальные уравнения:

  • Слайд 20
  • Слайд 21

    ОДУ высших порядков Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): Общим решением (общим интегралом) уравнения называется соотношение вида:                

  • Слайд 22

    Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде : y = cos x + C1x3 + C2x2 + C3x + C4. Пример:

  • Слайд 23

    Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y(k), y(k+1), y(k+2), …,y(n)) = 0, не содержащего функции y(x) и (k – 1) младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y(k)(x). Тогда уравнение примет вид т.е. будет уравнением (n – k)-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение y(k)(x)= z(x).

  • Слайд 24

    Пример: Понизить порядок уравнения:                                                      Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции: Тогда         и уравнение примет вид                   

  • Слайд 25

    Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: Пример: Понизить порядок уравнения: Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , тогда                 . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений поэтому рассматриваем два случая:     

  • Слайд 26

    Спасибо за внимание

Посмотреть все слайды

Сообщить об ошибке