Презентация на тему "Определенный и несобственный интегралы"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.

• 
  Слайд 2

  Определенный интеграл.

  Определенным интегралом функции y=f(x) на [a,b] называется , если этот предел существует и не зависит от способа разбиений [a,b] наи от выбора точек . Определенный интеграл обозначается: Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

• 
  Слайд 3

  Геометрический смысл определённого интеграла.

  y x0=a xn=b x1 x2 xi-1 xi . 0 y=f (x)

• 
  Слайд 4

  Свойства определённого интеграла.

  1. 2. 3. ,k-любое число 4. 5.Аддитивность определённого интеграла. Для любых чисел a,b,c справедливо:

• 
  Слайд 5

  Формула Ньютона-Лейбница.

  Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной на [,] функции f(x), то справедлива формула Ньютона-Лейбница:

• 
  Слайд 6
  

  Пример.

• 
  Слайд 7

  Замена переменной в определённом интеграле.

• 
  Слайд 8

  Интегрирование по частям в определённом интеграле.

• 
  Слайд 9
  

  Пример.

• 
  Слайд 10

  Геометрические приложения определенного интеграла.

• 
  Слайд 11
  

  y x y=-f(x) y=f(x) 0 b

• 
  Слайд 12
  

  y x 0 y=f(x) y=( ) a b

• 
  Слайд 13
  

  1 1 y x 0 y= y=-x2

• 
  Слайд 14
  

  Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.

• 
  Слайд 15
  

  y x 0 a b x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на , где

• 
  Слайд 16
  

  0 y x Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой циклоиды:x= (t-sin t), y= (1-cos t).

• 
  Слайд 17

  Вычисление длины дуги кривой.

• 
  Слайд 18
  

  Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) непрерывны на [,].

• 
  Слайд 19
  

  Пусть кривая задана в параметрической форме x=x(t), y=y(t), t , причём x(t), y(t), x’(t)0, y’(t) непрерывны на ,

• 
  Слайд 20

  Несобственный интеграл.

  Если существует конечный (b>), то этотпредел называется несобственныминтегралом функции f(x) на промежутке [; )и обозначают

• 
  Слайд 21
  
• 
  Слайд 22
  

  Пример.

• 
  Слайд 23

  Функции нескольких переменных.

• 
  Слайд 24

  Определение

  Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой упорядоченной паре чисел (x;y), принадлежащей множеству M, ставится в соответствие единственное действительное число z, принадлежащее множеству L. Множество M называется областью определения функции. Множество L называется областью значения функции при условии, что каждое z L соответствует хотя бы одной паре (x;y) M. Функцию двух переменных обозначают: z=f(x; y).

• 
  Слайд 25

  Частные производные.

• 
  Слайд 26

  Частные производные по x.

  Предел, если он существует, называется частной производной (I порядка) функции z=f(x,y) по x в точке и обозначается: ; ; .

• 
  Слайд 27

  Частные производныепо y.

  называется частной производной (I порядка) функции z=f(x,y) по y в точке и обозначается: ;; .

• 
  Слайд 28

  Частные производные высших порядков.

• 
  Слайд 29
  

  Пример. .Вычислить частные производные II порядка функции. , , , , , .

• 
  Слайд 30

  Полный дифференциал.

• 
  Слайд 31

  Скалярное поле.

  Часть пространства или всё пространство, вкаждой точке p(x,y,z) которого заданаскалярная функция U=F(x, y, z)=F(p),называется скалярным полем, а функция U= F(p) называется функцией поля. Пример. Найти полный дифференциал функции в произвольной точке. ,. Следовательно .

• 
  Слайд 32

  Производная по направлению.

  0 y x M M1 P

• 
  Слайд 33

  Градиент

• 
  Слайд 34

  Экстремумы функции двух переменных.

• 
  Слайд 35

  Необходимое условие существования экстремума.

  Пусть функция z=f(x, y) в точке имеет экстремум и пусть существует и . Тогда ,

• 
  Слайд 36

  Достаточное условие существования экстремума.

  Пусть для функции z=f(x, y) в критической точке существуют производные ,, . Выражение назовём дискриминантом функции z=f(x, y) вточке . Возможны три случая: 1) >0 , тогда точка– точка экстремума: при >0 – точка минимума; при

• 
  Слайд 37
  

  Пример исследовать на экстремум функцию Решение. ;. Решая систему получим четыре стационарные точки

• 
  Слайд 38

  Продолжение примера.

  Проверим достаточное условиеэкстремума в каждой из точек. ; ; . . Для точки : ; ; ; . Значит, в точке экстремума нет. Для точки : , . В точке функция имеет минимум. Аналогично, проверяют точки и .