Презентация на тему "Обыкновенные дифференциальные уравнения"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Обыкновенные дифференциальные уравнения

  Лекция 4

• 
  Слайд 2

  Уравнение первого порядка

  Функциональное уравнение F(x,y,y) = 0 или y= f(x,y), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию y(x) и ее производную y(x), называетсядифференциальным уравнением первого порядка.

• 
  Слайд 3

  Решение дифференциального уравнения

  Решением уравнения первого порядка называется всякая функция y=(x), которая, будучи подставлена в уравнение вместе со своей производной y=(x), обращает его в тождество относительно x.

• 
  Слайд 4

  Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

  Общим решениемдифференциального уравнения первого порядка называется такая функция y = (x,C), которая при любом значении параметра C является решением этого дифференциального уравнения.

• 
  Слайд 5
  

  Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

• 
  Слайд 6

  Уравнение, разрешенное относительно производной

  Если уравнение 1-го порядка разрешить относительно производной, то оно может быть представлено в виде Его общее решение геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной C.

• 
  Слайд 7

  Постановка задачи Коши

  Задача отыскания решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию при , называется задачей Коши для уравнения 1-го порядка.

• 
  Слайд 8
  

  Геометрически это означает: найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через данную точку .

• 
  Слайд 9

  Уравнение с разделяющимисяпеременными

  Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

• 
  Слайд 10
  

  Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид: . Для решения уравнения делят обе его части на произведение функций , а затем интегрируют.

• 
  Слайд 11

  Пример

  Разделим переменные в уравнении Интегрируем: Имеем: .

• 
  Слайд 12

  Понятие однородной функции

  Функция z=f(x,y) называется однородной порядка k, если при умножении ее аргументов на t получаем: Если k=0, то имеем функцию нулевого порядка. Например, функция нулевого порядка.

• 
  Слайд 13

  Однородные уравнения

  Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно привести к виду y= или к виду где и – однородные функции одного порядка .

• 
  Слайд 14

  Пример

  Решить уравнение

• 
  Слайд 15

  Линейные уравнения 1-го порядка

  Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно содержит и в первой степени, т.е. имеет вид . Решают такое уравнение с помощью подстановки y=uv, где u и v-вспомогательные неизвестные функции, которые находят, подставляя в уравнение вспомогательные функции и на одну из функций налагают определенные условия.

• 
  Слайд 16

  Уравнение Бернулли

  Уравнением Бернулли называется уравнение 1-го порядка, имеющее вид , где и Его, как и линейное уравнение решают с помощью подстановки

• 
  Слайд 17

  Пример

  Решить уравнения 1) 2)