Презентация на тему "Механические колебания"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Механические колебания

  Составители: Директор по маркетингу и сбыту, к.т.н. Романов Р.А. Руководитель учебного центра «БАЛТЕХ» Севастьянов В.В. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

• 
  Слайд 2

  Определение колебания

  Внутри любого живого организманепрерывно происходят разнообразные повторяющиеся процессы, например, процесс работы сердца. Аналогично и в технике есть разнообразные повторяющиеся процессы Все эти явления подчиняются общим закономерностям, которые мы рассмотрим на примере механических колебаний. Колебания – это периодически повторяющиеся движения или изменения параметров, которые характеризуют состояние системы. Колебания могут быть разной природы: механические, тепловые, электрические и т. п. Виды колебаний гармонические, периодические затухающие, вынужденные Простейшим видом колебаний является гармонические колебания, но чаще встречаются периодические колебания. Систему, совершающую колебательные движения, называют осциллятором.

• 
  Слайд 3

  Основные характеристики колебательного движения

  Смещениеx – это расстояние, на которое отклоняется колеблющееся тело в данный момент времени от положения равновесия. Измеряется в СИ в метрах (м); для гармонического колебания (1):

• 
  Слайд 4
  

  АмплитудаА0или (часто) простоА– максимальное смещение (А0=xмах) от положения равновесия. Измеряется в СИ в метрах (м); Период Т – время одного полного колебания. Измеряется в СИ в секундах (с). Для колебания материальной точки на пружине: Где m– масса материальной точки, закреплённой на пружине жёсткостьюk. Частота или линейная частотаν («ню») – это число колебаний в единицу времени. Измеряется в СИ в Герцах (Гц) или обратных секундах: Связана с периодомТ формулой:

• 
  Слайд 5
  

  Циклическая или круговая частотаω («омега») – величина, которая связана с линейной частотой формулой: Измеряется в СИ в радианах в секунду (рад/с), т.к. по определению -это скорость изменения угла φ от времени t. Круговая частотаω связана с коэффициентом жёсткостиk: Фаза колебанийφ («фи») характеризует состояние колеблющейся материальной точки в любой момент времени: где φ0 - начальная фаза колебаний (фаза при t0=0). Фаза по смыслу является углом отклонения от положения равновесия и измеряется в угловых градусах (внесистемная единица) и в СИ – в радианах (рад). АмплитудаА0 и начальная фаза φ0 колебаний определяются начальными условиями движения (положением материальной точки в момент времени t0 = 0).

• 
  Слайд 6

  Пример на изменение характеристик колебательного движения

  Во всех трех случаях для синих кривых φ0 = 0: а – красная кривая отличается от синейтолькобóльшей амплитудой (x‘max > xmax); b – красная кривая отличается от синейтолько значением периода (T' = T / 2); с – красная кривая отличается от синейтолько значением начальной фазы:

• 
  Слайд 7

  Основные характеристики колебательного движения

  Скорость движения материальной точкиv. Измеряется в СИ в метрах в секунду (м/с). Выражение для v найдится путем дифференцирования х: Скорость максимальна, если: Тогда Ускорение колеблющейся материальной точкиа. Измеряется в СИ в метрах в секунду в квадрате (м/с2). Выражение для а найдится путем дифференцирования v: Ускорение – это вторая производная по времени от смещения: Ускорение максимально, если Тогда

• 
  Слайд 8

  Графики колебательного движения

  График координатыx (t) тела, совершающего гармонические колебания График скоростиv(t) тела, совершающего гармонические колебания График ускоренияa(t) тела, совершающего гармонические колебания xmax=A0

• 
  Слайд 9

  Энергия гармонического колебания

  Полная энергия гармонического колебания E определяется суммой кинетической и потенциальной энергий: Подставляя в эту формулу выражение для скорости v: выражение для смещения x: и, учитывая, что получаем: так как: (основное тригонометрическое тождество) Из формулы: следует, что энергия гармонического колебания: 1) Прямо пропорциональна квадрату амплитуды А2: чем больше “размах” колебаний, тем больше и их энергия. 2) энергия прямо пропорциональна квадрату круговой частоты колебанийω0. ВАЖНО!

• 
  Слайд 10

  Маятники

  Маятник− это теломассой m, , подвешенная на нити или пружине и совершающее гармонические колебания. Пружинный маятник Математический маятник Физический маятник Пружинный маятник− это материальная точка массой m, подвешенная на абсолютно упругой пружине жесткостью kи совершающая гармонические колебания под действием упругой силы. Математический маятник− это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити длиной l, на которой подвешена материальная точка массой m. Физический маятник- это твердое теломассой m, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела где величину I/ml=lпрназывают приведенной длинойфизического маятника. Она численно равна длине такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

• 
  Слайд 11

  Гармонические колебания

  Гармонические колебания – колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени: с постоянной частотойпо закону синуса или косинуса и постоянной амплитудойА0. Рассмотрим случай действия на тело массой mтолькосилы упругостиFупр Если пружину оттянуть (на рисунке) или сжать (аналогично, но в другую сторону) на расстояние x от положения равновесия, то возникает сила упругости Fупр, величина и направление которой определяется законом Гука: Знак “минус” показывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещенияx, т.е. к положению равновесия. На примере движения пружинного маятника – материальной точки массой m, закреплённой на ГОРИЗОНТАЛЬНОЙпружине жёсткостьюk(Рис.1),рассмотрим различные виды колебаний в зависимости от сил, которые действуют вдоль оси Ох на данное тело массой m.

• 
  Слайд 12
  

  Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох: Вспомним, что ускорение – это вторая производная по времени от смещениях: Получаем уравнение: Разделим каждое слагаемое на m и вспомним, что , где ω0 – собственнаякруговая частота гармонического колебания. Получилось дифференциальное уравнение второй степени: решением которого является: Тут φ0 не равно 0 График гармонического колебания – синусоида, по которой можно определить смещение х колеблющейся точки в любой момент времени t.

• 
  Слайд 13

  Затухающие колебания

  Затухающие колебания – колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени с постоянной(!) частотой (круговой частотойω) по закону синуса или косинуса, ноамплитуда колебания Авсё время уменьшается. В данном случае на тело массой m вдоль оси Охдействуют уже две силы: сила упругости Fупр сила трения Fтр. Сила тренияFтрпропорциональна скорости колебания v и направлена в сторону, противоположную скорости: Для данного случая второй закон Ньютонав проекции на ось Ох:

• 
  Слайд 14
  

  Учтём, что: Тогда при сокращении каждого слагаемого на mи переносе всех членов влево от знака равенства, получим: Проведем замену: где β называется коэффициентом затухания - это основная характеристика затухающего колебания, измеряется в обратных секундах (с-1), Получаем конечный вид дифференциального уравнения второй степени: Решением его является формула: где – собственная круговая частотазатухающего колебания. Затухающие колебания Мы вывели, что для того случая второй закон Ньютонав проекции на ось Ох:

• 
  Слайд 15

  Характеристики затухающего колебания

  График затухающего колебания. Декремент затуханияδ(«дельта») – отношение значений двух последовательных амплитуд, разделённых периодом колебания: Логарифмический декремент затуханияλ («лямбда») – натуральный логарифм декремента затухания: Логарифмический декремент затухания применяется чаще, т.к. он связан с периодомТ и коэффициентом затуханияβ: Обе характеристики – безразмерные величины. График затухающего колебания – синусоида, амплитуда которой А(t)уменьшается по экспоненте: Коэффициент затухания β характеризует степень затухания колебаний.

• 
  Слайд 16
  

  Время релаксации («тау») – это время, за которое амплитуда уменьшается в e раз: Коэффициент затухания β(«бета») – величина, обратная промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз: Измеряется в СИ в Герцах (Гц) или обратных секундах (с-1) За время релаксации  система успевает сделать Ne колебаний: Значит, логарифмический декремент затухания λобратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в е раз: ДобротностьQ системы - величина, характеризующая уменьшение полной энергии ΔЕ системы по формуле: ΔЕ = -2πЕ/Q ,где знак минус показывает, что энергия уменьшается. Бóльшим значениям Q соответствует слабое затухание колебаний. Добротность пропорциональна числу колебаний за время релаксации Ne и обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания λ:

• 
  Слайд 17

  Вынужденные колебания

  В данном случае на тело массой m вдоль оси Охдействуюттри силы: сила упругости Fупр сила трения Fтр. вынуждающая силаFв, которая действует периодически с круговой частотой ωв: Для данного случая второй закон Ньютонав проекции на осьОх: Учтём, что: и При сокращении каждого слагаемого на mи переносе всех членов влево от знака равенства, получим: Вынужденные колебания – колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени: с постояннойчастотойν (круговой частотойω), задаваемойвнешней вынуждающей силойFв.

• 
  Слайд 18
  

  Проведём замену: Получаем конечный виддифференциального уравнения второй степени: Решение такого уравнения состоит из двух частей-решений: х=х1+х2: Решениех1 описывает неустановившейся режим колебаний, когда их амплитуда увеличивается во времени. Решениех2 описывает установившийся режим колебаний. В установившемся режимевынужденных колебаний смещение х2 подчиняется гармоническому закону и происходит с частотой ωв. График вынужденного колебания. удельная вынуждающая сила

• 
  Слайд 19

  Резонанс

  АмплитудаА вынужденных колебаний зависит от многих разобранных выше параметров: частоты собственных колебаний 0 , коэффициента затухания , силы f0 , частоты вынуждающей силы в. АмплитудаАбудет максимальна, если частота в действия вынуждающей силы определяется формулой: При этом наблюдается явление резонанса. Резонанс – это резкое возрастание амплитуды Авынужденных колебанийпри совпадении частоты действия вынуждающей силы в с частотой системы , т.е.: Если бы затухание в системе отсутствовало ( = 0), то резонанс наступал бы при условии: 0 = в, где 0 – собственная частота гармонического колебания. При этом амплитуда достигала бы бесконечно большого значения.

• 
  Слайд 20

  График резонанса

  Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1– колебательная система без трения: при резонансе амплитудаxmax вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q2 > Q3 > Q4. На низких частотах (ω > ω0) xmax → 0 колебательная система с коэффициентом затуханияβ

• 
  Слайд 21

  Цифровая обработка сигналов

  В настоящее время методы цифровой обработки сигналов (Digital Signal Processing – DSP) находят все более широкое применение, вытесняя постепенно методы, основанные на аналоговой обработке. Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале [0;∞]. При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации T, и вместо исходного сигнала получается последовательность: В процессе оцифровки аналоговых сигналов имеется два важнейших параметра, определяющих качество цифрового сигнала: Частота дискретизации Разрядность оцифровки Дискретизация предполагает получение мгновенных значений (выборок) аналогового сигнала с определенным временным шагом.

• 
  Слайд 22
  

  Чем выше частота дискретизации, тем более широкий спектр сигнала может быть представлен в дискретном сигнале. Для того чтобы однозначно восстановить исходный сигнал, частота дискретизации должна более чем в два раза превышать наибольшую частоту в спектре сигнала! Частота дискретизации (или частота семплирования) – частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в Герцах.

• 
  Слайд 23
  

  Квантование (Quantization) – разбиение диапазона значений непрерывного сигнала на конечное число интервалов. Чем больше глубина дискретизации, тем точнее цифровой сигнал, полученный аналого-цифровым преобразователем (АЦП), соответствует аналоговому. При оцифровке сигнала уровень квантования называют также глубиной дискретизации или битностью. Глубина дискретизации измеряется в битах и обозначает количество бит, выражающих амплитуду сигнала.

• 
  Слайд 24

  Спасибо за внимание!

  Зависимость смещения от времени при разных колебаниях Механические колебания Составители: Директор по маркетингу и сбыту, к.т.н. Романов Р.А. Руководитель учебного центра «БАЛТЕХ» Севастьянов В.В. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

• 
  Слайд 25
  

  ООО «Балтех» Россия, Санкт-Петербург, 194044, ул. Чугунная, 40 Тел/Факс: (812) 335-00-85 E-mail:info@baltech.ru Internet:www.baltech.ru