Презентация на тему "ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ

• 
  Слайд 2

  Темы, изучаемые сегодня:

  ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ОБЩИХ АННУИТЕТОВ В ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО АННУИТЕТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГО АННУИТЕТА ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА

• 
  Слайд 3

  ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ

  Аннуитет был определен как последовательность платежей, обычноравной величины, делаемых через равные промежутки времени. Он былназван простым аннуитетом, если интервал платежа точно совпадает спериодом конверсии; в противном случае он называется “общиманнуитетом” Например: Иванов вносит вклады по50 тыс.руб. на счет в сберегательном банке в конце каждого квартала. Еслибанк начисляет проценты поквартально, вклады образуют простойаннуитет. Если банк использует другой период конверсии, вкладыобразуют общий аннуитет.

• 
  Слайд 4

  ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ОБЩИХ АННУИТЕТОВВ ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ

  Введем обозначения: W- платежи общего аннуитета; p- количество платежей общего аннуитета в год; i- норма процента за период конверсии; m- число периодов начисления процента в год; R- платежи обыкновенного простого аннуитета, которыйявляетсяэквивалентной заменой общего аннуитета, делаемые m раз в год. Если аннуитет заменяется другим аннуитетом, то должны бытьвыполнены следующие два условия : a) норма процента должна быть той же самой или эквивалентной; b) стоимости обоих аннуитетов должны быть одинаковыми в любой момент времени

• 
  Слайд 5
  

  Для того, чтобы эти аннуитеты были эквивалентными, определимнорму процента i' за интервал платежа общего аннуитета, котораяэквивалентна норме i за период начисления процента.Тогда: Если теперь приравнять аннуитеты в конце года, получим :Заменяя функции составных платежей их явнымивыражениями в обеих частях(2), будем иметь:Подставляя это в(4) окончательно получаем:

• 
  Слайд 6
  

  Дробь в правой части этого равенства является обратным значением функции для дробного параметра n = m/p .Так что справедливы равенства(6): Значение дроби m/p в общем случае может быть любым. Однако практически встречается один из следующих вариантов : a) m/p является целым числом : в этом случае для анализа общего аннуитета можно использовать обычные таблицы для целочисленных значений параметра; b) m/p является дробью вида k/12 , k = 1, 2, 3, 4 или 6 , поскольку такие дроби встречаются довольно частодля них также составлены соответствующие таблицы функций составных платежей.

• 
  Слайд 7

  Пример 1

  Сидоров получает пенсию 5 млн. руб. в конце каждого года. Какие ежемесячные выплаты эквивалентны этой сумме, если деньги стоят ? Решение: Здесь W= 5 млн.руб, p= 1, i = 1/2 %, m= 12 и нужно определить R. Использование равенства (6) дает: Таким образом, Сидоров мог бы получать ежемесячно 405350 рб вместополучения 5 млнрб в конце года. Такой результат получился бы, если бымы воспользовались уравнением эквивалентности с датой сравнения вконце года.

• 
  Слайд 8

  Пример 2

  Заменить платежи по 500 тыс. руб. в конце каждогокварталана полугодовые платежи, если норма процента 5% , m = 2 . Решение:W = 500000 , p = 4 , i = 2,5 % и m = 2. Из уравнения (6) получаем: Таким образом, полугодовые платежи 1006,2 тыс. руб. эквивалентны по квартальным платежам 500 тыс. руб. при норме процента j2 = 5 % .

• 
  Слайд 9

  ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО АННУИТЕТА

  Идея определения итоговой суммы и настоящей стоимости обыкновенного общего аннуитета остается прежней преобразовать обыкновенный общий аннуитет в эквивалентный ему обыкновенный простой аннуитет и затем определить требуемую характеристику известными методами для простых аннуитетов. Проблемой, таким образом, является лишь преобразование общего аннуитета в простой. Как только это сделано, анализ простого аннуитета происходит стандартными способами. Никаких дополнительных трудностей не возникает и в случае отсроченных общих аннуитетов. Они преобразовываются в простые тем же самым образом. Покажем это на примерах.

• 
  Слайд 10

  Пример 1

  Иванов вносит в банк по 1 млнрб в конце каждого квартала при норме процента j1 = 4% . Какая сумма будет у него в банке через пять лет ? Решение: Составим сравнительную временную диаграмму, на основе которой будет легко сделать преобразование общего аннуитета в простой. W = 1 млн, p = 4 , m = 1 , i = 4% . Из уравнения (6) имеем:

• 
  Слайд 11

  Пример 2

  Найти настоящую стоимость серии полугодовых платежей по 5 млн. руб. в течение 8 лет, первый платеж в конце пятого года, если норма процента j4 = 5% . Решение: Снова изображаем исходные данные на сравнительной временной диаграммепродолжительностью 1 год. W = 5 млн, p = 2 ,m = 4 , i = 1,25 % . Используем уравнение (6) и получаем равенство: которое определяет квартальные платежи, эквивалентные полугодовым выплатам по 5 млнрб. Срок аннуитета равен 8 лет ( 32 периода конверсии ) и отсрочен на 4,5 года ( 18 периодов конверсии ). Используя ранее разработанную технику расчетов находим настоящую стоимость A

• 
  Слайд 12

  ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ

  Иногда появляется необходимость перевода обыкновенных простых аннуитетов в обыкновенные общие аннуитеты. Преобразование можно сделать достаточно просто с помощью второго равенства (6) и таблиц функций составных платежей. Такая задача появляется, когда требуется найти платежи общего аннуитета. Идея нахождения общего аннуитета состоит в определении простого аннуитета, который мог бы быть использован для выполнения намеченных целей, а затем преобразования этого простого аннуитета в эквивалентный общий аннуитет

• 
  Слайд 13

  Пример 1

  Дом, оцененный в 120 млн.рб, продается за 20 млнрб наличными и последовательность одинаковых полугодовых платежей в течение следующих 20 лет. Какими должны быть платежи при норме процентов j1 = 4,5 % ? Решение : Сначала решим задачу о простом аннуитете : какиепонадобятся ежегодные платежи ? В этом случае в качестве ежегодныхплатежей простого аннуитета должны быть Теперь преобразуем простой аннуитет в требуемый общий аннуитет. Мы имеем R = 7687614 , m = 1, p =2 , i = 4,5 % . Из второго уравнения (6) получаем эквивалентные полугодовые платежи W:

• 
  Слайд 14

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГОАННУИТЕТА

  Простейший способ определения нормы процента для общего аннуитета состоит в определении нормы процента для простого аннуитета на интервал платежа, а затем преобразовании этой нормы в эквивалентную норму на требуемый период начисления процентов. При этом в отсутствии вычислительных средств снова можно для получения приближенного решения воспользоваться методом линейной интерполяции и таблицами функций составных платежей. Это мы сможем увидеть на примере

• 
  Слайд 15

  Пример 1

  Обыкновенный аннуитет на 750 тысрб поквартально на 7 лет может быть куплен за 15750 тысрб. Какая номинальная норма, конвертируемая ежемесячно, использована для реализации инвестиции покупателя ? Решение: Сначала решим задачу простого аннуитета : какойдолжна быть поквартальная норма i начисления процентов ? Для этой вспомогательной задачи используем равенство Составим следующую вспомогательную табличку (для рассматриваемого 72примера анализ основывается на первых трех строчках этойвспомогательной таблицы ) Пропорция линейной интерполяции для i имеет вид: что дает i = 0,02104 или i = 2,1 % . Однако нам нужно определить не i , а j12 , которая должна быть связана с i соотношением эквивалентности

• 
  Слайд 16
  

  Разрешая его относительно j12 получим: Вычисление по этой формуле дает j12 = 0,0835764 . Если возведение вдробную степень вызывает затруднение, можно далее воспользоватьсяприведенной выше вспомогательной табличкой, составляя новую пропорцию линейной интерполяции что приводит к результату j2 = 0,0850602 . Точность линейнойинтерполяции в данном случае равна 0,0000150 .

• 
  Слайд 17
  

  Спасибо за внимание !