Содержание
-
Тема: Теоретические основы финансовых вычислений
"время – деньги"
-
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Важность учета фактора времени обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра" оцениваются по разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих.
-
Зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени:
во-первых, деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив, т.е. деньги могут быть инвестированы и тем самым принести доход; во-вторых, инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, т.к. цены на товар повысятся; в-третьих, неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег. Сегодня рубль в руке уже есть и его можно израсходовать на потребление, а будет ли он завтра в руке, – еще вопрос.
-
Финансовая математика – раздел количественного анализа финансовых операций, который решает следующие задачи:
исчисление будущей суммы денежных средств, находящихся во вкладах, займах или ценных бумагах путем начисления процентов; учет векселей; определение параметров сделки исходя из заданных условий; определение эквивалентности параметров сделки; анализ последствий изменения условий финансовой операции; исчисление обобщающих показателей финансовых потоков; определение параметров финансовой ренты; разработка планов выполнения финансовых операций; расчет показателей доходности финансовых операций.
-
Процентная ставка
Относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, – процентная ставка. Методика расчета проста: отношение суммы процентных денег, выплачивающихся за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в процентах. Таким образом, процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной суммы долга.
-
Период начисления процентов
"период начисления", – это отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами взимания процентов. Обычные или декурсивные (postnumerando) проценты начисляются в конце периода. В качестве единицы периода времени в финансовых расчетах принят год, однако это не исключает использования периода менее года: полугодие, квартал, месяц, день, час.
-
Период времени от начала финансовой операции до ее окончании называется сроком финансовой операции.
-
Условные обозначения в финансовой математике
I – проценты за весь срок ссуды (interest);PV – первоначальная сумма долга или современная (текущая) стоимость (presentvalue);i – ставка процентов за период (interestrate);FV – наращенная сумма или будущая стоимость (futurevalue), т.е. первоначальная сумма долга с начисленными на нее процентами к концу срока ссуды;n – срок ссуды в годах.
-
Коэффициент наращения
Увеличение суммы долга в связи с присоединением к ней процентных денег называется наращением, а увеличенная сумма – наращенной суммой. Отсюда можно выделить еще один относительный показатель, который называется коэффициент наращения или множитель наращения, – это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы долга, т.е. по существу является базисным темпом роста.
-
Виды процентных ставок
Простая процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база (денежная сумма) всегда одна и та же.Сложная процентная ставка применяется к наращенной сумме долга, т.е. к сумме, увеличенной на величину начисленных за предыдущий период процентов, – таким образом, исходная база постоянно увеличивается.Фиксированная процентная ставка – ставка, зафиксированная в виде определенного числа в финансовых контрактах.Постоянная процентная ставка – неизменная на протяжении всего периода ссуды.Переменная процентная ставка – дискретно изменяющаяся во времени, но имеющая конкретную числовую характеристику.Плавающая процентная ставка – привязанная к определенной величине, изменяющейся во времени, включая надбавку к ней (маржу), которая определяется целым рядом условий (сроком операции и т.п.).
-
Основа процентной ставки
Основу процентной ставки составляет базовая ставка, которая является начальной величиной. Примером базовой ставки для зарубежных финансовых рынков могут служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR – LondonInterbankOfferedRate) или ставка ЛИБИД (LIBID – LondonInterbankBidRate), для России это ставка МИБОР (MIBOR – MoscowInterbankOfferedRate) или ставка МИБИД (MIBID – MoscowInterbankBidRate), а также ставка МИАКР (MIACR – MoscowInterbankActualCreditRate).
-
Финансовая операция наращения
Экономический смысл операции наращения состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Здесь идет движение денежного потока от настоящего к будущему.
-
Логика финансовой операции наращения
Величина FV показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов i.
-
Формула простого процента
Если учесть, что размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины инвестированной суммы, от уровня процентной ставки и от срока финансовой операции, то наращенную сумму по схеме простых процентов можно будет определять следующим образом: FV = PV + I = PV + i • PV • n = PV (1 + i • n) = PV • kн,где kн – коэффициент (множитель) наращения простых процентов. Поскольку коэффициент наращения представляет собой значение функции от числа лет и уровня процентной ставки, то его значения легко табулируются.
-
Пример
Пример 1. Сумма в размере 2'000 рублей дана в долг на 2 года по схеме простого процента под 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.Решение:Наращенная сумма:FV = PV (1 + n • i ) = 2'000 (1 + 2 • 0'1) = 2'400 руб.илиFV = PV • kн = 2'000 • 1,2 = 2'400 руб.Сумма начисленных процентов:I = PV • n • i = 2'000 • 2 • 0,1 = 400 руб.илиI = FV - PV = 2'400 - 2'000 = 400 руб. Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2'400 рублей, из которой 2'000 рублей составляет долг, а 400 рублей – "цена долга".
-
Особенности базы расчета
Временную базу ( T ) можно представить по-разному: условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идет об обыкновенном (ordinaryinterest), или коммерческом проценте; взять действительное число дней в году (365 или 366 дней). В этом случае получают точный процент (exactinterest). Число дней ссуды ( t ) также можно по-разному определять: условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет 30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, – в результате получают так называемое приближенное число дней ссуды; используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, – в этом случае получают точное число дней ссуды.
-
Если время финансовой операции выражено в днях
Расчет простых процентов может быть произведен одним из трех возможных способов: Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды, или, как часто называют, "германская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца – за 30 дней. Этот способ обычно используется в Германии, Дании, Швеции. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, или "французская практика расчета", когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Этот способ имеет распространение во Франции, Бельгии, Испании, Швейцарии. Точные проценты с точным числом дней ссуды, или "английская практика расчета", когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю. Этот способ применяется в Португалии, Англии, США.
-
Примеры определения точного количество дней. Получается путем вычитания номера первого дня финансовой операции из номера последнего дня финансовой операции.
Пример 2. Сумма 2 млн руб. положена в банк 18 февраля не високосного года и востребована 25 декабря того же года. Ставка банка составляет 35% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различной практике их начисления.
-
Германская практика начисления простых процентов:
Временная база принимается за 360 дней, T = 360.Количество дней ссуды: t = 11 (февраль) + 30 (март) + 30 (апрель) + 30 (май) + 30 (июнь) ++ 30 (июль) + 30 (август) + 30 (сентябрь) + 30 (октябрь) ++ 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 305 днейСумма начисленных процентов:I = P • t / T • i = 2'000'000 • 305/360 • 0,35 = 593'055,55 руб.
-
Французская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 360 дней, T = 360.Количество дней ссуды:t = 11 (февраль) + 31 (март) + 30 (апрель) + 31 (май) + 30 (июнь) ++ 31 (июль) + 31 (август) + 30 (сентябрь) + 31 (октябрь) ++ 30 (ноябрь) + 25 (декабрь) - 1 = 310 днейСумма начисленных процентов:I = P • t / T • i = 2'000'000 • 310/360 • 0,35 = 602'777,78 руб.
-
Английская практика начисления процентов:
Временная база принимается за 365 дней, T = 365.Количество дней ссуды берется точным, t = 310 дней.Сумма начисленных процентов:I = P • t / T • i = 2'000'000 • 310/365 • 0,35 = 594'520,55 руб.
-
Формула сложных процентов
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда: проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов; срок ссуды более года.
-
Методика определения формулы сложных процентов
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:FV = PV + I = PV + PV • i = PV • (1 + i) – за один период начисления;FV = (PV + I) • (1 + i) = PV • (1 + i) • (1 + i) = PV • (1 + i)2– за два периода начисления; отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:FV = PV • (1 + i)n = PV • kн ,где FV – наращенная сумма долга;PV – первоначальная сумма долга;i – ставка процентов в периоде начисления;n – количество периодов начисления;kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.
-
Пример
Сумма в размере 2'000 рублей дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.Решение:Наращенная суммаFV = PV • (1 + i)n = 2'000 • (1 + 0'1)2 = 2'420 рублейилиFV = PV • kн = 2'000 • 1,21 = 2'420 рублей,где kн = 1,21 Сумма начисленных процентов I = FV - PV = 2'420 - 2'000 = 420 рублей. Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2'420 рублей, из которой 2'000 рублей составляет долг, а 420 рублей – "цена долга".
-
Эффективная ставка процентов
Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка ( j ).Номинальная ставка (nominalrate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.Эта ставка во-первых, не отражает реальной эффективности сделки; во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.
-
Учет в расчетах номинальной ставки
Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составитN = n • mОтсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:FV = PV • (1 + j / m)N = P • (1 + j /m)mn ,где j – номинальная годовая ставка процентов.
-
Пример
Изменим условия предыдущего примера, введя ежеквартальное начисление процентов.Решение:Количество периодов начисления:N = m • n = 4 • 2 = 8Наращенная сумма составит:FV = PV • (1 + j / m)mn = 2'000 • (1 + 0,1 / 4 )8 = 2'436,81 руб.Сумма начисленных процентов:I = FV - PV = 2'436,81 - 2'000 = 436,81 руб.Таким образом, через два года на счете будет находиться сумма в размере 2'436,81 руб., из которой 2'000 руб. является первоначальной суммой, размещенной на счете, а 436,81 руб. – сумма начисленных процентов.
-
Эффективная ставка (effectiverate)
Эффективная ставка (effectiverate), измеряет тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j / m: (1 + i)n = (1 + j / m)m • n,следовательно,i = (1 + j / m)m - 1. Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.
-
Сущность дисконтирования
В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):D = FV - PV
-
Логика финансовой операции дисконтировании
Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.
-
Сущность дисконтирования
Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной(современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.
-
Методика дисконтирования
Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования: математическое дисконтирование по процентной ставке; банковский учет по учетной ставке. Дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки (i ) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму.
-
Дисконтирование для простых процентов
для простых процентовPV = FV : (1 + n • i ) = FV • 1 / (1 + n • i ) == FV • (1 + n • i ) -1 = FV • kд,где kд – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов. Пример: Через 150 дней с момента подписания контракта необходимо уплатить 310 тыс. руб., исходя из 8% годовых и временной базы 360 дней. Определить первоначальную сумму долга.Решение:Поскольку срок ссуды менее года, то используем формулу простых процентов:PV = FV • 1 / (1 + t / T • i ) =310'000 • 1 / (1 + 150 / 360 • 0,08) = 300'000 руб.PV = FV • kд = 310'000 • 0,9677419 = 300'000 руб.Таким образом, первоначальная сумма долга составила 300 тыс. руб., а проценты за 150 дней – 10 тыс. руб.
-
Дисконтирование для сложных процентов
PV = FV • (1 + i) -n = FV • kд,где kд – дисконтный множитель для сложных процентов.Если начисление процентов производится m раз в год, то формула примет вид:PV = FV • (1 + j / m) -m • n .Пример. Через два года фирме потребуется деньги в размере 30 млн руб., какую сумму необходимо сегодня поместить в банк, начисляющий 25% годовых, чтобы через 2 года получить требуемую сумму?Решение:Поскольку срок финансовой операции составляет более года, что используем формулу приведения для сложных процентов:PV = FV • 1 / (1 + i) n = 30'000'000 • 1 / (1 + 0,25)2 = 19'200'000 руб.илиPV = FV • kд = 30'000'000 • 0,6400000 = 19'200'000 руб.Таким образом, фирме следует разместить на счете 19'200'000 руб. под 25% годовых, чтобы через два года получить желаемые 30'000'000 руб.
-
Сущность потока платежей - аннуитета
Поток платежей, все члены которого имеют одинаковое направление (знак), а временные интервалы между последовательными платежами постоянны, называется финансовой рентой или аннуитетом.При рассмотрении финансовой ренты используются основные категории: член ренты (PMT) – величина каждого отдельного платежа; срок ренты (n) – время от начала финансовой ренты до конца последнего ее периода; процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении платежей, из которых состоит рента.
-
Наращенная величина аннуитета
Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п. Наращенные отдельные платежи представляют собой члены геометрической прогрессии с первым членом равным R и множителем равным (1 +i).
-
Логика финансовой операции наращения финансовой ренты
-
Годовая постоянная обычная рента
где FVA – наращенная сумма ренты;R (PMT) – размер члена ренты, т.е. размер очередного платежа;i – годовая процентная ставка, по которой на платежи начисляются сложные проценты;n – срок ренты в годах,s n;i – коэффициент наращения ренты
-
Пример
На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.Решение:Период ренты равен одному году- это годовая рента; Взносы будут в конце периода ренты, постнумерандо-это обычная рента; Число членов ренты пятьСумма всех взносов с начисленными процентами будет равна:Можно определить наращенную сумму постоянной ренты, воспользовавшись финансовыми таблицами, содержащими коэффициенты наращения ренты:FVA = R • s5 ; 30 = 500 • 9,0431 = 4'521,55 руб.Сумма взносов в течение 5 лет составит:P = n • R = 5 • 500 = 2'500 руб.Следовательно, сумма начисленных процентов будет равна:I = FVA - P = 4'521,55 - 2'500 = 2'021,55 руб.Таким образом, доход владельца счета за 5 лет составит 2'021,55 руб.
-
Современная (текущая) величина аннуитета
1. Современная (текущая) величина потока платежей (капитализированная или приведенная величина) – это сумма платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов. 2. Это важнейшая характеристика финансового анализа, т.к. является основой для измерения эффективности различных финансово-кредитных операций, сравнения условий контрактов и т.п. 3. Данная характеристика показывает, какую сумму следовало бы иметь первоначально, чтобы, разбив ее на равные взносы, на которые начислялись бы установленные проценты в течение всего срока, можно было бы получить указанную наращенную сумму.
-
Логика финансовой операции определения современной величины потока платежей
-
Пример
Определить по данным примера современную величину ренты.Решение:Современная величина ренты составит:Таким образом, все производимые в будущем платежи оцениваются в настоящий момент в размере 1'217,78 руб.
-
Определение параметров аннуитета
Последовательные платежи в виде постоянной обычной годовой ренты определяются основными параметрами:R (PMT)– размер платежа;n – срок ренты в годах;i – годовая ставка процентов. При разработке условий финансовой операции могут возникать ситуации, когда заданной величиной является одна из двух обобщающих характеристик и неполный набор параметров ренты. В таких случаях находят недостающий параметр.
-
При определении члена ренты возможны два варианта
1 вариант - наращенная сумма. Если сумма долга определена на какой-либо момент в будущем (FVA), тогда величину последующих взносов в течение n лет при начислении на них процентов по ставке i можно определить по формуле:
-
Пример
Для покупки автомобиля через 5 лет потребуется 50 тыс. руб. Определите размер ежегодных взносов, вносимых в конце каждого года в банк, который начисляет проценты по ставке 40%.Решение:В данном случае известна наращенная величина постоянной финансовой ренты, поэтому размер ежегодных взносов будет равен: Таким образом, чтобы накопить на счете необходимую сумму для покупки автомобиля следует в конце каждого года в течении пяти лет откладывать 4'568 руб.
-
При определении члена ренты возможны два варианта
2 вариант - современная величина финансовой ренты, тогда, исходя из ставки процента и срока ренты, разовый платеж находится по формуле:
-
Пример
Сумма 10 тыс. рублей предоставлена в долг на 5 лет под 8% годовых. Определить ежегодную сумму погашения долга.Решение:Известна современная величина долга, отсюда: Таким образом, ежегодно необходимо будет возвращать сумму 2'504,56 руб.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.