Содержание
-
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
-
Тема 2.ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.
Угрозов Валерий Вячеславович
-
Потоки платежей
Финансовые контракты могут предусматривать не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени (регулярные выплаты). Например, погашение долгосрочного кредита, вместе с начисленными на него процентами; периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.); дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам; выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Поток платежейпредставляет собой ряд последовательных выплат и поступлений, причем выплаты выражаются отрицательными величинами, а поступления - положительными. Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма- S и современная величина-A
-
Наращенная сумма потока платежей
Наращенная сумма потока платежей (S)- это сумма всех членов последовательности платежей R с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Логика финансовых операций по определению величины наращенной суммы потока платежей - S отражена на рис. 3.1. В качестве Sможет выступать итоговый размер создаваемого инвестиционного или какого-либо другого фонда или общая сумма задолженности. Рис. 3.1. Схема формирования наращенной суммы S потока платежей
-
Современная величина потока платежей
Современная величина потока платежей (А) - сумма всех его членов R, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающих с началом потока платежей или предшествующих ему. Логику финансовых операций по определению современной суммы A величины потока платежей легко понять из рис.3.2. Современная величина Aможет характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки и пр. Рис. 3.2. Схема дисконтирования потока платежей (получения их современной суммыA)
-
Основные параметры финансовой ренты
Финансовой рентой (или аннуитетом) называют поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны. Финансовая рента имеет следующие параметры: - член ренты (R) – величина каждого отдельного платежа, - период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами, - срок ренты (n) – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, - процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.
-
Виды финансовых рент.
1) От продолжительности периода ренты: годовые – рентывыплачиваются одинраз в год(p = 1) , р-срочные– выплата рент производится р раз в год (p > 1) равными платежами R. 2) По числу начислений процентов - m: с начислением один раз в год(m = 1), с начислением т раз в год (m > 1), ренты с непрерывным начислением. 3) По величине членов различают: постоянныеимеют равные члены, когда величина каждого платежа остается неизменной во времени (R = const) ; переменные ренты– размер платежей может быть произвольным (R = var) или изменяться по какому-либо математическому закону. 4)По вероятности выплаты членов : верные ренты подлежат безусловной выплате, например при погашении кредита; условные ренты - выплата зависит от наступления некоторого случайного события. Число ее членов заранее неизвестно.
-
5)По числу членов : ограниченные -с конечным и заранее известным числом членов ; бесконечные (вечные) – число членов ренты заранее неизвестно. Например, выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками. 6)В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту: немедленные – начало действия контракта начинается сразу после его подписания, отложенные или отсроченные – начало действия контракта сдвигается на более поздние сроки. 7) По моменту выплаты платежей выделяется два вида рент:обычные (постнумерандо) - платежи осуществляются в конце каждого периода (наиболее часто встречаются); авансовые (пренумерандо) - выплаты производятся в начале каждого периода.
-
Формулы наращенной суммы S для финансовых рент
Обычная годовая рента.Пусть в конце каждого года в течение nлет на расчетный счет вносится по Rрублей, сложные проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i ) n-1, так как на сумму Rпроценты начислялись в течение (n-1) года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометричес-кой прогрессии:S=R+R(1+i)+R(1+i)2+…+R(1+i)n-1,в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n.Отсюда: S = R*sn;i ,(3.1) где s n;i= [(1+i)n -1]/i- коэффициент наращения ренты.S зависит от срока ренты nи уровня процентной ставки i.
-
Пример 3.1. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые 1 раз в год начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,R= 10 000 000 руб.,m=1,i = 0,10 .НайтиS = ? Решение Вычисления производится по формуле для обычной годовой ренты по формуле (3.1)S = 10 000 000*[(1+ 0,1)3 - 1] / 0,1 = 33 100 000,00 руб.
-
Годовая рента cначислением процентов т раз в году.
Платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют траз в году, то каждый раз применяется ставка j/m, где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид:R(1+ j /m)m*(n -1), R(1+ j /m)m*(n-2), . . . , R .Если читать последнюю формулу справа налево, то можно увидеть геометрическую прогрессию, у которой R - первый член, (1+j/m )m–знаменатель и n - число членов.Сумма членов этой прогрессии представляет собой наращенную сумму ренты: S = R [(1 + j / m) m*n-1] / [(1 + j / m)m -1](3.2)
-
Пример 3.2. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб., на которые ежеквартально (m = 4) начисляются проценты по сложной годовой ставке в 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,m = 4,R= 10 000 000 руб., j = 0,10 .НайтиS = ? Решение. Вычисления производится по формуле (3.2) для годовой ренты с начислением процентов 4 раза в году : S = 10 000 000*[(1+0,1/4)(3*4) - 1] / [(1+0,1/4)4 - 1] = 33 222 157,88 руб.
-
Рента р - срочная, с начислением процентов один раз в год (m = 1).
Рента выплачивается р раз в году равными платежами, проценты начисляются один раз в конце года m=1.Пусть R - годовая сумма платежей, тогда R/p - размер отдельного платежа. Последовательность платежей с начисленными до конца срока- n процентами-i представляет собой геометрическую прогрессиювида: R/p*(1+i)n-1/p R/p*(1+i)n-2/p,…,R/p. Наращенная сумма такой ренты- S будет равна сумме членов этой геометрической прогрессии, записанной в обратном порядке, у которой R/p- первый член, (1+i)/p знаменатель, n*р - общее число членов, а сама S равна S = R*s(p)n;i,(3.3) где s(p)n;i=- коэффициент наращения p- срочной ренты при m =1.
-
Пример 3.3. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн. руб. в квартал), на которые в конце каждого года начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,m = 1,R= 10 000 000 руб.,p = 4,i = 0,10. Найти S = ? Решение Вычисления проведем по формуле (3.3): S = (10 000 000/4)*[(1+0,1)3 - 1]/ [(1+0,1) 1/4 - 1] =34 316 60,35 руб.
-
Рента р - срочная, когда число платежей совпадает с начислением процентов (р = т).
Воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год, тогда получаем:(3.4)
-
Пример 3.4. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежеквартально начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года,p = m = 4,R= 10 000 000руб., j = 0,10. Найти S = ? Решение. Вычисления произведем по формуле (3.4): S = 10 000 000*[(1+0,1/4) ( З x 4 ) - 1] / 0,1 = 34 488 882,42 руб.
-
Рента р - срочная, с произвольным поступлением платежей p ≥ 1, и произвольным начислением процентов m ≥ 1 (общий случай).
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами -s1=R/p*(1+j/m)m*(n-1/p).Второй член ренты к концу срока возрастет до s2= R/p*(1+j/m)m*(n-2/p) и т.д.Последний член этой геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов n*т.Соответственно наращенная сумма рассчитывается по формуле: S =s1+s2+…+snp=(3.5)
-
Пример 3.5. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал), на которые ежемесячно (m=12) начисляются проценты по сложной ставке в 10% годовых. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Дано:n = 3 года, m = 12,R= 10 000 000 руб., p = 4, j = 0,10 .Найти S = ? Решение. Вычисляя по формуле (3.5) находим: S = (10 000 000/4)*[(1+0,10/4) (3х4) -1] / [(1+0,10/4) (12/4) -1] =34 529 637,96 руб.
-
Определение величины отдельного платежа простой ренты - R.
I. Известна величина наращенной суммы-S, а также процентная ставка I и количество выплат n. Величина отдельного платежа- R по схеме постнумерандо. (3.6) Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.7)
-
Пример 3.6. Через 3 года на расчетном счете необходимо иметь 10 млн руб. Определить размер ежегодных платежей : а) в конце года (постнумерандо);в) в начале года - пренумерандо по сложной процентной ставке 12% годовых.
Дано: n = 3 года,S= 10 000 000 руб.,i = 0,12 . Найти Rпо и Rпр= ? Решение. а) Вычисляя по формуле (3.6)находим: Rпо= 10 000 000*0,12/[(1+0,12)3 -1] = 2 963 489,81 руб. в) Вычисляя по формуле (3.7) находим: Rпр= (10 000 000*0,12)/[(1+0,12)((1+0,12)3 -1)] = 2 645 973,04 руб.
-
II-й случай. Определение величины отдельного платежа простой ренты при известной современной стоимости A.
Известна современная стоимость- A, процентная ставка- i,количество выплат- n. Величина отдельного платежа по схеме постнумерандо. (3.8) Величина отдельного платежа по схеме пренумерандо (3.9)
-
Пример 3.7. Предприниматель взялкредит в размере 10 млн руб.сроком на 3 года под 14% годовых. Рассчитать размер ежегодных погасительных платежей, если они будут выплачиваться a) в конце года ; b)в начале года
Дано: n = 3 года,A= 10 000 000 руб.,i = 0,14 . Найти Ra и Rb = ? Решение. а) Вычисляя по формуле (3.8) находим: Ra= (10 000 000*0,14)/[1-1/(1+0,14)3] = 4 307 314,80 руб. b) Вычисляя по формуле (3.9) находим: R = (10 000 000*0,14)/[(1+0,14)(1-/(1+0,14)3)] = 3 778 346,32 руб.
-
Определение срока простой ренты - n
I-й случай. Известна наращенная сумма-S, процентная ставка-i ,отдельный платеж -R Срок простой ренты при платежах по постнумерандо. (3.10) Срок простой ренты при платежах по пренумерандо. (3.11)
-
Пример 3.8.На момент окончания финансового соглашения заемщик должен выплатить 30 000 000 руб. Платежи размером 5 000 000 руб. поступают ежегодно в конце года, с начислением по сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты a)постнумерандо;в)пренумерандо
Дано:R = 5 000 000 руб.,S= 30 000 000 руб., i = 0,15.Найтиna и nb= ? Решение. a)По формуле (3.10) находим: na = ln (1+30 000 000*0,15/5 000 000) / ln(1+0,15) = 4,59 года. в) По формуле (3.11) находим: nв= ln(1+30 000 000*0,15/(5 000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 4,14 года.
-
2-й случай. Определение срока простой ренты nпри известной современной стоимости ренты A
Известна современная стоимость- A, отдельный платеж ренты – R, процентная ставка- i. Определение срока простой ренты при платежах по постнумерандо: (3.12) Определение срока простой ренты при платежах по пренумерандо (3.13)
-
Пример 3.9. Организация взяла кредит в размере 30 000 000 руб. с условием погашения ежегодными платежами по 6 000 000 руб. и начислением по сложной процентной ставке 15% годовых. Определить срок простой ренты при погашении: a) в конце года (постнумерандо); b) в начале года (пренумерандо)
Дано: A= 30 000 000 руб., R = 6 000 000 руб., i = 0,15. Найти na и nb = ? Решение. a)Вычисляя по формуле (3.12) находим:n= - ln (1-30 000 000*0,15/6 000 000) / ln(1+0,15) = 9,92 года. a)Вычисляя по формуле (3.13) находим n= -ln (1-30 000 000*0,15/(6000 000*(1+0,15)) / ln(1+0,15) = 7,56 года.
-
Современная величина A обычной годовой финансовой ренты.
Если член годовой ренты равен R, процентная ставка i, срок ренты n и проценты начисляются один раз в конце года. Тогда a1,a2,…an- приведенные к началу ренты величины первого, второго и т.д. платежей : где- дисконтный множитель. Приведенные величины-a1,a2,…,an- образуют геометрическую прогрессию, сумма которой равнаA: (3.14) где - коэффициент приведения ренты.
-
Пример 3.10. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого года (p = 1) поступает по 10 млн руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной процентной ставке в 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.
Дано:n = 3 года, m= 1,R= 10 000 000 руб, p = 1, j = 0,10. Найти A = ? Решение. Вычисляя по формуле (3.14) получим : А = 10 000 000*[1 - (1+0,1) -3]/0,1 = 24 868 519,91 руб.
-
Современная величина р-срочной финансовой ренты с произвольными значениями p ≥ 1 и m ≥ 1.
Формула (3.15) является общей для нахождения современной величины ренты, когда р и т могут принимать произвольные значения(3.15)
-
Пример 3.11. В течение 3-х лет на расчетный счет в конце каждого квартала поступают платежи (р=4) равными долями из расчета 10 млн руб. в год (т.е. по 10/4 млн руб. в квартал). Ежемесячное дисконтирование (m=12) производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты.
Дано:n = 3 года,m = 12, R= 10 000 000 руб.,p = 4, j = 0,10 .Найти S = ? Решение Вычисляя по формуле (1.37) получим: А = (10 000 000/4)*[1 - (1+0,1/12) (-3*12)] /[(1+0,1/12)](12/4) -1] =25 612 003,42 руб.
-
1.3.5. Определение величины процентной ставки простой ренты
При заключении финансовых сделок важно знать их доходность, которая определяется процентной ставкой ренты за один период начисления. При этом считается, что известны следующие значения: отдельный платеж R, срок займа n и наращенная сумма S (или современная стоимость А). В Excel данная задача решается с помощью финансовой функции СТАВКА.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.