Презентация на тему "Параллелограмм Вариньона решает задачи"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Параллелограмм Вариньона решает задачи

• 
  Слайд 2
  

  Цель:изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами. Задачи: Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

• 
  Слайд 3
  

  Французский механик и математик. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 году). Первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пьер Вариньон (1654 – 1722)

• 
  Слайд 4

  Теорема Вариньона

  Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника. Дано:ABCD – выпуклый четырехугольник,AK=KB, BL=LC, CM= MD, AN=ND Доказать: KLMN – параллелограмм; SKLMN =SABCD /2

• 
  Слайд 5
  

  Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC.KL - средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KL║AC. MN – средняя линия треугольника ADC, MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC,следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN - параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника. 2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника, т.е. SKBL = SABC/4, SMDN=SADС/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2. Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.

• 
  Слайд 6

  Бимедианы четырехугольника

  – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторонKMиLN (диагонали параллелограмма Вариньона) [1]В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 - №22.

• 
  Слайд 7

  Следствия из теоремы Вариньона

  №1 Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали равны AC=BD; 2) бимедианы перпендикулярны KM LN

• 
  Слайд 8
  

  №2 Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны;AC BD 2) бимедианы равны KM=LN

• 
  Слайд 9
  

  №3 Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали равны AC=BD и перпендикулярны AC BD; 2) бимедианы равны MK=NL и перпендикулярны MK NL

• 
  Слайд 10

  Решение задач (из учебника№567)

  Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Дано: ABCD – четырехугольник AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND Доказать: KLMN – параллелограмм Доказательство: Проведем АС и рассмотрим АВС KL – средняя линия, следовательно KL II AC, KL= AC/ 2 . Рассмотрим ADC, NM – средняя линия, следовательно NM II AC, NM = AC/2 KL II AC, NM II AC, следовательно, KL II NM. KL= AC/ 2, NM = AC/2, следовательно, KL=NM. KLMN – параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны) Новое доказательство: KLMN – параллелограмм Вариньона ( по определению)

• 
  Слайд 11

  №568(а)

  Докажите, что четырехугольник – ромб, если его вершинами являются середины сторон прямоугольника Дано:ABCD – прямоугольник,DE=EA, AL=LB, BM=MC, DH=HC Доказать: ELMH – ромб Доказательство: Проведем АС, рассмотрим треугольник АВС. LM – средняя линия, значит LM II AC, LM =AC/2. Рассмотрим треугольник ADC, EH- средняя линия , EH II AC, EH = AC/2. LM II EH, LM=EH, следовательно, ELMH –параллелограмм. Проведем BD. Так как BD=AC (диагонали прямоугольника равны), значит EL=LM Следовательно, ELMH – ромб. Новое доказательство: ELMH – ромб ( по 1 следствию из теоремы Вариньона)

• 
  Слайд 12

  Олимпиадные задачи

  Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий. Дано: ABCD- четырехугольник АС=ВD Доказать: SABCD = KM * LN А В C D K N M L Доказательство:KLMN – параллелограмм Вариньона.Так как AC= BD, параллелограмм Вариньона является ромбом. SKLMN =KM*LN/2(площадь ромба равна половине произведения его диагоналей ). SABCD = 2SKLMN = KM * LN

• 
  Слайд 13
  

  ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Задачи: №568(б), №566 А также задача: Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника

• 
  Слайд 14
  

  «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем»Лоренс Питер Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

• 
  Слайд 15
  

  Доказательство задачи на дом: слайд 13 Доказательство: SABCD=SLMNK+SLKD+SALM+SBMN+SKCN Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, То SALM=SMOL , SMBN=SMON, SNCK=SKON . Отсюда получаем, что , SLKD = SLOK.