Презентация на тему "Выпуклые четырёхугольники"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕНМАТЕМАТИКА 9 КЛАССМОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2)Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций

  Учитель математики МОУ СОШ им. А.С. Попова г.о. Власиха Московской области Вершинина Наталия Владимировна

• 
  Слайд 2
  

  Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: O d1 d2 α

• 
  Слайд 3
  

  O d1 d2 α S1 S2 S3 S4 Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны: Обоснование:найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле Затем сложить эти площади (свойство 1) илиперемножить (свойство 2).

• 
  Слайд 4
  

  Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

• 
  Слайд 5
  

  C D B A s s s s o Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой. Специфика параллелограмма

• 
  Слайд 6
  

  C D B A b a o a b d1 d2 В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его cторон: d12 + d22= 2(a2 +b2) Специфика параллелограмма

• 
  Слайд 7
  

  Специфика параллелограмма 3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны. C D B A

• 
  Слайд 8
  

  Специфика параллелограмма C D B A При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается равнобедренный треугольник.

• 
  Слайд 9
  

  Специфика параллелограмма C D B A Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

• 
  Слайд 10
  

  C D B A Специфика параллелограмма C D B A 5. Параллелограмм, диагонали которогоравны, является прямоугольником. 6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом. C D B A Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

• 
  Слайд 11
  

  C D B A s s1 s s2 o Специфика трапеций Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции. OAD~OCB(по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2, где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.

• 
  Слайд 12
  

  C D B A s s1 s s2 o Специфика трапеций 2. SBAD= SCAD,SABC= SDBC (как площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты). 3. SOAB= SOCD(т.к. SOAB=SABC – SOBC=SDBC – SOBC=SOCD). 4. SBAD: SDBC = AD: BC (SBAD = 0,5·AD·h, SDBC = 0,5·BC·h).

• 
  Слайд 13
  

  C D B A s s1 s s2 o Специфика трапеций 5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадратуплощади треугольника,прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S1S2 = S2. (SOAD=S1=0,5·OB·OC·sin α,SOCB =S2 =0,5·OA·OD·sin α, SOAB=S=0,5·OA·OB·sin(180°–α)=0,5·OA·OB·sinα, SOCD =S=0,5·OC·OD·sin(180°–α)=0,5·OA·OB·sinα, тогда S1S2 = S2).

• 
  Слайд 14
  

  6. Биссектрисы углов, прилежащих к боковымсторонам трапеции, перпендикулярны (следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей). C D B A C D B A o 7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой. Специфика трапеций

• 
  Слайд 15
  

  Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию. C D B A Построение 1 Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

• 
  Слайд 16
  

  Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A E Построение 2 Из вершины С меньшего основания трапеции ABCDпровести прямую CE, параллельную диагонали BD, до пересечения с ADв точке E; получится треугольник ACE, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции AE = AD + DE. При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE:SABCD= SACE

• 
  Слайд 17
  

  Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A H1 H2 C D B A P Построение 4 Достроить трапецию ABCDдо треугольника APD, вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции. Построение 3 Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH1и CH2.

• 
  Слайд 18
  

  Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. O A D C B K P T H

• 
  Слайд 19
  

  Решение. Точки K, Р, Т, Н середины сторон четырёхугольника ABCD.Отрезки АС и ВD – диагоналичетырёхугольника ABCD. O A D C B K P T H По условию КТ = РН;значит,параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой;следовательно, угол между диагоналями ВDи АС тоже прямой, а значит, SABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6. Ответ: 6. 2. По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВDи равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм.

• 
  Слайд 20
  

  Задача №2. (ФИПИ 2014г.) На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВDпересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD. C D B A K P

• 
  Слайд 21
  

  C D B A K P Решение. AВD =CDB(по трём равным сторонам). SAВD= SCDB= 0,5·SAВCD= =0,5·24=12; SКРB=SCDB – SPKCD=12 – 10 = 2 2. APD~KPB(по двум равным углам); SAРD : SKPB = k2; AP=k·PK, DP=k·PB 3. AВPи ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAВP: SKPB= АP: PK= k(изп.2) 4. APDи ABP имеют общую высоту из вершины A, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAPD: SAВP= DP: PB= k(изп.2)

• 
  Слайд 22
  

  C D B A K P 5. Из п.3 и п.1SAВP= k·SKPB = 2k 6. Из п.4и п.5 SAPD= k·SABP = k·2k = 2k2 SABD=SAВP + SAPD=2k + 2k2 . Из п.1 следует2k + 2k2= 12. Корни уравнения k2+ k– 6 = 0 числа –3 и2; по смыслу задачиk = 2. 8. SAPD = 2k2= 2·22 = 8. Ответ: 8.

• 
  Слайд 23
  

  C D B A s s1 s s2 o Задача №3. (МИОО 2013г.) Диагонали AC и BDтрапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников OАDи OCВ равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

• 
  Слайд 24
  

  C D B A s s1 s s2 o AВО и СВО имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAВО : SCВО = ОА:ОC= 4:3(из п.2). Следовательно, SAВО = Решение. По условию SOADне равнаSOCB, значит, ADи BC – основания трапеции ABCD. 2. OAD~OCB(по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2=16:9, где k = 4:3 = OA:OC.

• 
  Слайд 25
  

  C D B A s s1 s s2 o 4. SBAD= SCAD , т. к. эти треугольники имеют общее основание ADи их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит, SOAB=SABC – SOBC=SDBC – SOBC=SOCD, т. е. SOCD= SOAB=12. 5. SAВCD = SOAD + SOCB + SOCD + SOAB =16 + 9 + 12 +12 = 49 cм2. Ответ:49 cм2.

• 
  Слайд 26
  

  K P N A o M B Задача №4. (МИОО 2010г.) Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.

• 
  Слайд 27
  

  K P N A o M B 2. Δ AMO~Δ NMK по двум углам: а)∠ М общий; б) ∠ MAO=∠ MNK как соответственные при AO параллельной NK и секущей MN. Решение. ΔMOP~ΔKON по двум углам: а) ∠NOK=∠MOP как вертикальные б) ∠PMO=∠NKO как внутренние накрестлежащие углы при NK параллельной MP и секущей MK.

• 
  Слайд 28
  

  K P N A o M B 3. Аналогично 4. AB = 30 см. Ответ:30 см.

• 
  Слайд 29
  

  Задача №5. (МИОО 2013г.) В трапеции ABCD на диагонали BDвыбранаточка Е так, что Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника АBЕ. C D B A F E

• 
  Слайд 30
  

  Решение. 1.Пусть точка F – точкапересечения прямых CEи AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; SFCB = 0,5·SABCF C D B A F E

• 
  Слайд 31
  

  3. AВEи параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание ABиобщую высоту, проведённую к AB. Значит, SАВЕ=0,5·SABCF = SDCB = 15. Ответ:15. C D B A F E 2. SDCB =SFCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит, SDCB =SFCB = 0,5·SABCF = 15.

• 
  Слайд 32
  

  Задача № 6(МИОО 2013г.) В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36. D A B N C M H E

• 
  Слайд 33
  

  D A B N C M H E Решение. По свойству равнобедренной трапеции   AC=BD,следовательно, треугольники  ABCиDCB равны. Так как AB=BC=CD,  треугольники   ABCи DCB равнобедренные, следовательно,  BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED. Отрезок HEсоединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, ADи BCпараллельны, поэтому, BCEH– трапеция.

• 
  Слайд 34
  

  D A B N C M H E Площадь трапеции  ABCD:  Ответ:9.

• 
  Слайд 35
  

  Задача №7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции. C D B A F K L M Решение. 1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL, CFпараллельна BD. 2. Из построения следует: LKCM и DBCFпараллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC. 3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

• 
  Слайд 36
  

  C D B A F K L M Пусть h – высота трапеции ABCDили треугольника ACF. Тогда SABCD = 0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = SACF=6. Ответ:6. По формуле Герона Полупериметр треугольника ACF равен

• 
  Слайд 37
  

  1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка, соединяющего серединысторон ABиCТ, равнаодному метру. ПрямыеBТ иACперпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего серединыдиагоналей ACиBТ.3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВDпересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD.

  Задачи для самостоятельного решения Ответ: 20. Ответ: 1 метр. Ответ: 25.

• 
  Слайд 38
  

  4. Диагонали AC и BDтрапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников АODи ВOC равны соответственно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции.5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , еслиAD= =12 см, ВC=24 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельнаBC, AD> BC)на диагонали ACвыбранаточка Е так, что ВЕпараллельнаCD. Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC.

  Задачи для самостоятельного решения Ответ: 81см2. Ответ: 16 см. Ответ: 10.

• 
  Слайд 39
  

  А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в задачах». Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, 2008. И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013.Образовательный портал для подготовки к экзаменамРЕШУ ЕГЭhttp://pedsovet.su/load/321http://www.mathvaz.ru/ http://alexlarin.net/

  Использованные источники