Презентация на тему "Построение сечений: метод следов"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Построение сечений: метод следов

  Астрахань – 2012 г.

• 
  Слайд 2
  

  Существует три основных метода построения сечений многогранников: Метод следов. Метод вспомогательных сечений. Комбинированный метод.

• 
  Слайд 3
  

  Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника. Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

• 
  Слайд 4

  Задача 1.

  Дана призма ABCDA1B1C1D1. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, Q, R. P Q R

• 
  Слайд 5
  

  Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

• 
  Слайд 6
  

  Прямая PQ, которая принадлежит сечению, пересекается с прямой АВ в точке S1.

• 
  Слайд 7
  

  Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.

• 
  Слайд 8
  

  Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

• 
  Слайд 9
  

  Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Аналогично получаем TU и RT. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D.

• 
  Слайд 10
  

  PQRTU – искомое сечение.

• 
  Слайд 11

  Задача 2.

  Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

• 
  Слайд 12
  

  Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

• 
  Слайд 13
  

  Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

• 
  Слайд 14
  

  Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.

• 
  Слайд 15
  

  Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.

• 
  Слайд 16
  

  Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP.

• 
  Слайд 17
  

  Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

• 
  Слайд 18

  Задача 3.

  На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани ВСВ'С'.

• 
  Слайд 19
  

  Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС').

• 
  Слайд 20
  

  Находим точки В'' и С'' , в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ' и СС'. Точки В'' и С'' - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ' и СС'.

• 
  Слайд 21
  

  Так как точки В'' и Р лежат в плоскости (АВВ'), то прямая В''Р лежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок В''Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

• 
  Слайд 22
  

  Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС'), то прямая РС'' лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

• 
  Слайд 23
  

  Находим точку V, в которой прямая РС'' пересекает ребро А'С'. Это след плоскости (PQR) на ребре А'С'.

• 
  Слайд 24
  

  Так как точки Q и V лежат в плоскости (А'В'С'), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС. Итак, мы получили многоугольник QB''PV - искомое сечение.

• 
  Слайд 25

  Задача 4.

  На ребрах АА' и В'С' призмы АВСА'В'С' зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани А'В'С‘.

• 
  Слайд 26
  

  Так как точки Q и R лежат в плоскости (А'В'С'), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А'В'С').

• 
  Слайд 27
  

  Находим точки D' и Е', в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А'В' и А'С'. Так как точка D' лежит на ребре А'В', отрезок Е’D' - след плоскости (PQR) на грани А'В'С'.

• 
  Слайд 28
  

  Так как точки D' и P лежат в плоскости (АВВ'), то прямая D'P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ'), а отрезок D'P - след плоскости (PQR) на грани АВВ'А'.

• 
  Слайд 29
  

  Так как точки Р и Е' лежат в плоскости (АСС'), то в этой плоскости лежит прямая РЕ'. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС').

• 
  Слайд 30
  

  Находим точку К. Так как точка К лежит на ребре СС', то отрезок РК - это след плоскости (PQR) на грани АСС'А'.

• 
  Слайд 31
  

  Так как точки Q и К лежат в плоскости (ВСС'), то прямая QК лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС'), а отрезок QК- след плоскости (PQR) на грани ВСС'В'. Итак, мы получили многоугольник QD'РК - это и есть искомое сечение.

• 
  Слайд 32
  

  Спасибо за внимание!