Презентация на тему "Сечение"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Геометрия

  МОУ Серковская СОШ Цитович Алексей Федорова Ирина Юрьевна Сечение Вдохновениев геометрии нужно также как и в поэзии

• 
  Слайд 2
  

  Показать свои знания основного теоретического материала по темам «Аксиомы стереометрии», «Параллельность прямой и плоскости», «Параллельность плоскостей», «Перпендикулярность прямой и плоскости»; Научиться работать с инструментами: вставка объекта и надписи, прямые, тип линий, тип штриха, цвет линий, эллипс, группировка объектов, эффекты и настройка анимации, управляющие кнопки, WordArt; Развитие способности практического применения основных теорем и аксиом стереометрии при построении сечений; научиться планировать свою деятельность. Цели:

• 
  Слайд 3

  Содержание:

  Список применяемых теорем Проектное задание №1 Проектное задание №2 Проектное задание №3 Проектное задание №4 Проектное задание №5 Проектное задание №6 Проектное задание №7 Проектное задание №8 Проектное задание №9 Мои инструменты Выводы

• 
  Слайд 4

  Сводный список применявшихся теорем:

  С2:Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С3:Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 15.1 :Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 15.2 :Если две точки прямой принадлежат этой плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема 15.3 :Через три точки ,не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 16.1 :Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. Теорема 16.2 : Две прямые, параллельные третьей прямой, параллейны. Теорема 16.3 :Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-ни будь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Свойство параллельных плоскостей:Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллейны. Свойство перпендикулярных прямой и плоскости: Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

• 
  Слайд 5

  Проектное задание №1:

  Решение: На ребрах МА и МВ, а также в грани МСD пирамиды МАВСD взяты соответственно точки P, Q и R. Построить линию пересечения плоскости PQR с плоскостью АВС. М С R Q P D A B (Q’) (P’) R’ S1 S2 S1S2 - след плоскости PQR на плоскости ABC

• 
  Слайд 6

  Решение:

  Построим точки Р’, Q’, R’ - проекции соответственно точек P, Q, R на плоскость АВС. Прямые PQ и P’Q’ лежат в одной плоскости. Найдем точку S1,в которой пересекаются эти прямые. По теореме 15.2. точка S1 является общей точкой плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S1 . Аналогично найдем точку S2 , в которой пересекаются прямые QR и Q’R’ и которая является общей для плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S2 . Проведём прямую S1 S2. По теореме 15.2. Эта прямая лежит как в плоскости АВС, так и в плоскости PQR. Таким образом, прямая S1 S2 -это искомая линия пересечения. Линию пересечения двух плоскостей называют также следом одной из них на другой.

• 
  Слайд 7

  Проектное задание №2:

  На ребрах МА и МВ, а также в грани МСD пирами-ды МАВСD взяты соот-ветственно точки P, Q и R. Построить сечение пирами-ды плоскостью PQR. М С R Q P D A B (Q’) (P’) R’ S1 S2 (V’) S3 V T PQTV - искомое сечение Решение:

• 
  Слайд 8

  Решение:

  Построим прямую S1S2- след плоскости PQR на плоскости АВС. Линия пересечения плоскости PQR с плоскостью МАВ - прямая QS1, а отрезок QP - это пересечение плоскости PQR с гранью МАВ. Точка Р является общей точкой плоскостей PQR и МАD. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку Р (по Т 15.2.). Проекция точки пересечения прямой МD с плоскостью PQR на плоскость АВС совпадает с точкой D. Пересечение Р’V’ с прямой S1S2 дает точку S3. Точка S3 является общей точкой плоскостей PQR и МАD. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S3 (по Т 15.2.). Точки Р и S3 являются общими для плоскостей PQR и МАD. Значит, прямая РS3 - это линия пересечения этих плоскостей. Проведем её и найдём точку V, в которой прямая РS3 пересекает MD. Отрезок PV является пересечением плоскости PQR с гранью МАD. Точки R и V являются общими для плоскостей PQR и МCD. Значит, прямая RV - это линия пересечения этих плоскостей. Найдём точку T, в которой прямая RVпересекает MC. Отрезок VT является пересечением плоскости PQR с гранью МCD. Отрезок QT - это пересечение плоскости PQR с гранью MBC PQTV - искомое сечение

• 
  Слайд 9

  Проектное задание №3:

  Решение: S2 S1 В гранях BCC1B1, ADD1A1и CDD1C1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q, R. Построим линию пересечения плоскостей PQR и АВС. А В В1 А1 Р D D1 Q R C C1 Q’ R’ P’ S1S2 - след плоскости PQR на плоскости ABC

• 
  Слайд 10

  Решение:

  Построим точки Р’, Q’, R’ - проекции соответственно точек P, Q, R на плоскость АВС. Так как ВВ1||АА1 , ВВ1||РР’ , АА1||QQ’, то РР’||QQ’ и, значит, определя-ют плоскость. Прямые PQ и P’Q’ лежат в одной плоскости. Найдем точку S1,в которой пересекаются эти прямые. По теореме 15.2. точка S1 является общей точкой плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S1 . Так как CC1||РР’ , CC1||RR’, то РР’||RR’ и, значит, определяют плоскость. Аналогично найдем точку S2 , в которой пересекаются прямые QR и Q’R’ и которая является общей для плоскостей PQR и АВС. По аксиоме С2 эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S2 . Проведём прямую S1 S2. По теореме 15.2. Эта прямая лежит как в плоскости АВС, так и в плоскости PQR. Таким образом, прямая S1 S2 -это искомая линия пересечения.

• 
  Слайд 11

  Проектное задание №4:

  В гранях BCC1B1, ADD1A1и CDD1C1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P, Q, R. Построим сечение призмы плоскостью PQR. S2 S1 Q’ R’ P’ (V’) S3 А В В1 А1 Р D D1 Q R C C1 V A2 C2 K L VC2KLA2 - искомое сечение Решение:

• 
  Слайд 12

  Решение:

  Построим прямую S1S2- след плоскости PQR на плоскости АВС. Точка Q является общей для плоскостей PQR и АDD1. Они пересекаются по прямой, проходящей через точку Q (по Т 15.2.). Проекция точки пересечения прямой DD1 с плоскостью PQR на плоскость АВС совпадает с точкой D. Пересечение Q’V’ с пря-мой S1S2 дает точку S3. Точка S3 является общей для плоскостей PQR и АDD1. Эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку S3 (по Т 15.2.). Точки Q и S3 являются общими для плоскостей PQR и АDD1. Значит, прямая QS3 - это линия пересечения этих плоскостей. Проведем её и найдём точки V(точка пере-сечения прямых QS3 и DD1) и А2(точка пересечения прямых QS3 и АА1). Отрезок А2V является пересечением плоскости PQR с гранью АDD1A1. Точки R и V являются общими для плоскостей PQR и C1CD. Значит, прямая RV - это линия пересечения этих плоскостей. Найдём точку C2 , в которой прямая RVпе-ресекает CC1. Отрезок VC2 является пересечением плоскости PQR с гранью C1CDD1. Рассуждая аналогично найдем отрезок С2К, который является пересечением плоскости PQR с гранью C1CВB1. По свойству параллельных плоскостей прямые S1S2||KL, где К - это точка пересе-чения ребра В1А1 с плоскостью PQR. VC2KLA2 - искомое сечение

• 
  Слайд 13

  Проектное задание №5:

  Решение: На ребрах АА1 и АD призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки А2 и Р. Через точку Р проведем прямую m, параллельную прямой А2С1. A2PSC1K - искомое сечение m - искомая прямая S K D2 F А А1 В1 С1 С D D1 A2 B P m

• 
  Слайд 14

  Решение:

  Проведём прямую А2Р и найдем точки пересечения А2Р с DD1 и A1D1 (D2 и F соответственно). Проведем прямую D2C1и найдем S - точку пересечения прямых D2C1 и CD. Проведём прямую SP. Проведём прямую C1F и найдём К - точку пересечения C1F и А1В1. . Соединим точку А2 с точкой К А2PSC1K- сечение призмы В плоскости А2С1Р через точку Рпроведем прямую m||А2С1 и найдем Y -точка пересечение прямых m и D2C1. PY-искомая прямая Замечание: Прямые PS и KC1 получились параллельными. Закономерность этого факта обосновывается свойством параллельных плоскостей АВС и А1В1С1.

• 
  Слайд 15

  Проектное задание №6:

  Решение: На ребрах СD и ВВ1 призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q. Построим сече-ние призмы плоскос-тью, проходящей через прямую PQ паралле-льно прямой АС. PS1A2QC2 - искомое сечение m C2 S2 S1 S3 B A D P C C1 D1 B1 A1 Q A2

• 
  Слайд 16

  Решение:

  В плоскости АВС проведём прямую m||АС. Найдем S1, S2, S3 - точки пересечения прямой m с прямыми AD, AB, BC соответственно. Прямая QS2 - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью АВВ1. Найдем А2 - точку пересечения прямых АА1 и QS2. Отрезок QА2 является пересечением секущей плоскости с гранью АВВ1А1. Прямая QS3 - линия пересечения секущей плоскости с плоскостью ВСС1. Найдем С2 - точку пересечения прямых СС1 и QS3. Отрезок QС2 является пересечением секущей плоскости с гранью ВСС1С1. Соединим точку А2 с точкой S1 и точку С2 с точкой Р. Отрезки А2S1 и С2Р являются пересечениями секущей плоскости соответственно с гранями АDD1A1 и CDD1C1. PS1A2QC2 - искомое сечение

• 
  Слайд 17

  Проектное задание №7:

  C2 T2 A2 T1 m На ребрах АВ, ВС и ВВ1 призмы ABCDA1B1C1D1взяты соответственно точки P, Q и R. Построим сечение призмы плоскостью, параллельной плоскости PQR и проходящей через точку К взятую на ребре АD. В В1 P A K D D1 C C1 A1 R Q S2 S1 S3 KS1C2T2T1A2 - искомое сечение Решение:

• 
  Слайд 18

  Решение:

  В плоскости АВС через точку К проведём прямую m||PQ. Найдем S1, S2, S3 - точки пересечения прямой m с прямыми СD, AB, BC соответственно. В плоскости АВВ1 через точку S2 прямую n||PR. Найдем А2, Т1 - точки пересечения прямой n с прямыми AА1, B1А1 соответственно. В плоскости СВВ1 через точку S3 прямую k||QR. Найдем C2, Т2 - точки пересечения прямой k с прямыми CC1, B1C1 соответственно. Соединим точку Т1 с точкой Т2, точку S1 с точкойC2, точку A2 с точкой K. KS1C2T2T1A2 - искомое сечение Замечание: Прямые КS1 и Т1Т2 получились параллельными. Закономерность этого факта обосновывается свойством параллельных плоскостей АВС и А1В1С1.

• 
  Слайд 19

  Проектное задание №8:

  Решение: На ребре А1В1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р - середина этого ребра. Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку Р перпендикулярно прямой В1D. А B C D A1 B1 C1 D1 P Q B2 QPB2 - искомое сечение

• 
  Слайд 20

  Решение:

  Так как А1С1 перпендикулярна В1D1 и А1С1 перпендикулярна DD1, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая А1С1 перпендикулярна плоскости DD1В1. Проведём в плоскости А1В1С1 через точку Р прямую PQ||А1С1. По свойству перпендикулярных прямой и плоскости прямая PQ перпендикулярна плоскости DD1В1, и, следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, PQ перпендикулярна В1D. Рассуждая аналогично, проведём через точку Р в плоскости АВВ1 прямую РВ2||А1В. Тогда РВ2 перпендикулярна В1D. Так как прямая В1D ( по построению) перпендикулярна двум пересекающимся прямым PQ и РВ2, то плоскость, определяемая этими прямимы, перпендикулярна прямой В1D. QPB2 - искомое сечение

• 
  Слайд 21

  Проектное задание №9:

  Решение: Высота МО правильной пирамиды МАВСD равна стороне ее основания. По-строим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину D перпенди-кулярно прямой МВ. O D C A B M H m A1 C1 DA1HC1 - искомое сечение

• 
  Слайд 22

  Решение:

  В плоскости BMD опустим перпендикуляр из точки D на прямую МВ. Выполним это построение вычислительным способом. Для построения точки Н подсчитаем, что отношение ВН:ВМ=2:3. Зная это отношение параллельных отрезков ВН и ВМ, построим с помощью вспомогательного луча m точку Н и проведем затем прямую DH. Проведем в плоскости МАС через точку пересечения прямых DH и МО прямую А1С1||АС. По свойству перпендикулярных прямой и плоскости АС перпендикулярна плоскости BDM. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, А1С1 перпендикулярна МВ. Пересекающимися прямыми А1С1 и DH определяется плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой МВ. DA1HC1 - искомое сечение

• 
  Слайд 23

  МОИ ИНСТРУМЕНТЫ:

  При выполнении данного проекта мою деятельность мож-но разделить на три этапа: работа с текстом; геометрические построения; анимация. При работе с текстом я использовала: вставку надписи, цвет текста, нижний индекс, шрифт, размер шрифта. Для геометрического построения мне были необходимы ин-струменты: линии, цвет линии, тип линии, тип штриха, овал. Для того чтобы выполнить анимацию мне был нужен ин-струмент-группировка. Без него анимация была бы трудо-емкой. Я старалась выдержать проект в едином стиле.

• 
  Слайд 24

  ВЫВОДЫ:

  Создавая проект, я поняла: технологию применения основных аксиом и теорем стерео-метрии; за чем нужен и как пользоваться инструментом группи-ровка. Этот проект научил меня: строить сечение многогранников; делать выноски и пользоваться управляющими кнопками. Из опыта работы по этому проекту в дальнейшем мне приго- диться: способности планировать свою деятельность и оформ-лять наглядно и стильно любую работу; навык работы с инструментами: группировка и управляю-щие кнопки.