Презентация на тему "Выполнила работу: студентка группы ГТ-11,Бикназарова А.А."

Содержание

• 
  Слайд 1

  Выполнила работу: студентка группы ГТ-11,Бикназарова А.А.

  Множество комплексных чисел

• 
  Слайд 2

  Определение комплексного числа

  Комплексные числа называются числа вида: z = x + iy, где x и y - действительные числа.

• 
  Слайд 3

  Мнимая единица

  Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1. Таким образом i —это решение уравненияили Степени i повторяются в цикле: , , , , .

• 
  Слайд 4
  

  Пример:

• 
  Слайд 5

  Равные комплексные числа

  Сравнение: x + yi = c + di означает, что x = c и y = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• 
  Слайд 6

  Комплексная плоскость

  Рассмотрим координатную плоскость и поставим в соответствие каждому комплексному числу точку с координатами . Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствие между полем и множеством точек координатной плоскости. Координатную плоскость в этом случае будем называть комплексной плоскостью.

• 
  Слайд 7
  

  Ось абсцисс –вещественная ось, а ось ординат-мнимая ось. С каждой точкой комплексной плоскости можно связать вектор, идущий из нуля в эту точку (радиус-вектор). Координаты этого вектора — вещественная и мнимая части его конца. Радиус-вектор числа равен сумме радиус-векторов чисел и . Аналогично с вычитанием.

• 
  Слайд 8
  
• 
  Слайд 9

  Комплексно-сопряженные

  Комплексное число z = x– iy называется сопряженным числу z = x+ iy. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком комплексной части , называются комплексно- сопряженными .

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  

  Пример №1: Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i). Решение: Имеем Следовательно, Ответ. 11 – 2i.

• 
  Слайд 12
  

  Пример №2: Вычислите : Решение: Имеем Ответ. i.

• 
  Слайд 13

  Алгебраическая форма

  Запись комплексного числа в виде z = x+ iy называется алгебраической формой комплексного числа. Число называют вещественной (реальной) частью комплексного числа и обозначают   .  Число называют мнимой частью комплексного числа и обозначают   .      

• 
  Слайд 14

  Сложение комплексных чисел

  Суммой двух комплексныхчисел z1 = x+ yi и z2 = c + diназывается комплексное число z = (x+c) + (y+d)i.

• 
  Слайд 15
  

  Пример: Пусть , Тогда:

• 
  Слайд 16

  Вычитание комплексных чисел

  z=(x+yi) - (c+di) = (x-c) + (y-d)i. Разностью двух комплексных чисел z1= a + bi и z2= с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.

• 
  Слайд 17
  

  Пример: Пусть , Тогда:

• 
  Слайд 18

  Произведение комплексных чисел

  Произведением комплексных чисел z 1= x + yi и z2 = c + di называется комплексное число z = (xc-yd) + (xd + yc)i, z1z2 = (x+ yi)(c + di) = (xc - yd) + (xd + yc)i.

• 
  Слайд 19
  

  Пример: Пусть , Тогда:

• 
  Слайд 20

  Деление комплексных чисел

  Деление комплексных чисел определяется, какдомножение числителя на выражение, сопряженное знаменателю. Результат определен для всех

• 
  Слайд 21
  

  Пример: Пусть , Тогда:

• 
  Слайд 22

  Тригонометрическая форма

  Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме z = r(cos φ + isin φ).

• 
  Слайд 23

  Пример

  Записать число в тригонометрической форме. Найдём модуль этого числа: Аргумент данного числа находится из системы Значит, один из аргументов числа равен Получаем: Ответ.

• 
  Слайд 24

  Произведение и частное

  Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + isin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + isin φ2). Имеем:

• 
  Слайд 25
  

  Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы. Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, ..., φn – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то

• 
  Слайд 26

  Первая формула Муавра

  В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень. Первая формула Муавра: Где r — модуль, а — аргумент комплексного числа.

• 
  Слайд 27

  Пример

  Вычислить если Рисунок

• 
  Слайд 28
  

  Как было найдено в предыдущем примере, данное число в тригонометрической форме имеет вид По первой формуле Муавра получаем: Ответ.

• 
  Слайд 29
  

  Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа: Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31

  Показательная форма

  Показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанна с тригонометрической через формулу Эйлера: z = reiφ, где eiφ — расширение экспоненты, для случая комплексного показателя степени.

• 
  Слайд 32
  

  Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой которая носит название формулы Эйлера.

• 
  Слайд 33
  

  Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим Эта запись называется показательной формой комплексного числа.

• 
  Слайд 34
  

  Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

• 
  Слайд 35

  Пример

  Пусть . Напишите показательную форму числа . Решение. Находим модуль и аргумент числа: Следовательно, показательная форма комплексного числа такова: