Презентация на тему "Погрешности и приближенные числа"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ПОГРЕШНОСТИИ ПРИБЛИЖЕННЫЕЧИСЛА

  Кафедра Информационных технологий и управляющих систем Предмет «Вычислительные методы и их применение в ЭВМ» Лекция Доцент Стрельцова Г. А.

• 
  Слайд 2

  Введение

  При выполнении массовых вычислений важно придерживаться определенных простых правил, выработанных практикой, которые позволяют экономить труд вычислителя и рационально использовать вычислительную технику. Одно из таких правил – разработка подробной вычислительной схемы.

• 
  Слайд 3

  Повестка дня

  Список изучаемых разделов: Приближенные числа и правила приближений. Погрешности арифметических операций. Основные свойства решений. Время, отводимое на каждый раздел: 5-10 минут.

• 
  Слайд 4

  Обзор

  Разделы лекции Приближенные числа и правила приближений Погрешности арифметических операций Основные свойства решений

• 
  Слайд 5

  Словарь терминов

  Приближенным числом а* называется число, отличающееся от точного а и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а*а, то - по избытку.

• 
  Слайд 6

  Приближенные числа и правила приближений

  Значащими цифрами числа а*называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева. Значащую цифру числа а*называют верной, если абсолютная погрешность числа не превышает единицу разряда, соответствующего этой цифре. Пример: Δ (a*) =0, 000002, a* =0, 0103000– 4 верных цифры.

• 
  Слайд 7
  

  Округление числа –замена его другим числом с меньшим числом значащих цифр. Погрешность такой замены называется погрешностью округления. Виды округления: Усечение – отбрасывание всех цифр, расположенных слева от значащей цифры. Абсолютная погрешность не превышает единицы разряда. Округление по дополнению – при разряде, меньшим 5, остается та же цифра, при большем или равном 5 добавляется 1. Абсолютная погрешность не превышает ½ разряда последней оставляемой цифре. Границы погрешностей всегда округляют в сторону увеличения.

• 
  Слайд 8
  

  Относительная погрешность (%) чисел с n верными знаками. Начало таблицы.

• 
  Слайд 9
  

  Относительная погрешность (%) чисел с n верными знаками. Окончание таблицы.

• 
  Слайд 10
  

  Для двоичных чисел существуют понятия: Машинный нуль. Машинная бесконечность. Переполнение. Исчезновение порядка. 0 Xo -Xo Машинная бесконечность Машинная бесконечность Машинный нуль X- X

• 
  Слайд 11
  

  Числа, большие по модулю, чемX, рассматриваются, как машинная бесконечность, ипопытка получить такое число приводит к аварийному останову по переполнению. Числа, меньшие по модулю, чем Xo представляются машинным нулем. При получении таких чисел возможно исчезновение порядка (или антипереполнение). Для двоичных чиселпри потери точности вычислений используют так называемую удвоенную точность.

• 
  Слайд 12
  

  Пример: Имеется гипотетическая машина с 6 двоичными разрядами мантиссы, в которой округление происходит только по дополнению. Выполнитьарифметические действия для двух чисел в двоичном коде: a=20.5D=10100.1B; b=1.75D=1.11B a+b=22.25D;a*b=35,785D a+b=10100.1+1.11=101101.01B ≈10110.1B=22.5D a*b=10100.1*1.11=1100011.111B ≈100100.1B =36D

• 
  Слайд 13
  

  Проверка точности вычислений проводится по так называемому машинному эпсилону εм. Машинный эпсилон εм – это минимальное из представленных чисел ε, для которых 1 εм> 1 Алгоритм проверки (вставка в фрагмент программы): Задается шаг ε(о)=1, проводится вычисление, Задается шаг ε(1)=0.5 ε(о) проводится вычисление и проверяется неравенство 1 ε> 1 ………………………………………………………………………………… n. Задается шаг ε(n)=0.5 ε(n-1) проводится вычисление и проверяется неравенство 1 ε> 1 Если неравенство выполняется, то принимается εм= ε(n-1)и переходят к следующему этапу вычислений.

• 
  Слайд 14
  

  В представленном примере εм = 0.000001, т. к. 1+ εм =1.000001, тогда 1 εм =1.00001 Если же к 1 добавить любое положительное число ε

• 
  Слайд 15
  

  В современной мировой практике используется ошибка вычислений приближенного числа: Error = |a-a*|/(1+a) Error→ Δ (a*) при |a|>1

• 
  Слайд 16

  Погрешности арифметических операций

  Погрешности суммы и разности: Δ (a*± b*) ≤ Δ (a*) + Δ (b*) δ (a*+ b*) ≤ δmax ; δ (a*- b*) ≤ v*δmax δmax = max{δ (a*), δ (b*) }, v=|a+b|/|a-b| Относительные погрешностипроизведения и частного: Δ (a*+ b*) ≤ Δ (a*) + Δ (b*) δ(a* b*) ≤ δ (a*) + δ (b*) + δ (a*) *δ (b*) δ(a*/ b*) ≤ (δ (a*) + δ (b*))/(1-δ (b*)) Границы относительных погрешностей: δ(a* b*) ≈ δ (a*)+ δ (b*) ≈ δ(a*/ b*)

• 
  Слайд 17

  Основные свойства решений

  Корректность вычислительной задачи. Это выполнение условий: 1) ее решение y, принадлежащих Y, существует при всех входных x,принадлежащих X. 2) это решение единственное 3) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных величин. Единственностьвычислительной задачи. Задача должна иметь единственное решение. Устойчивость вычислительной задачи. Задача устойчива по входным данным, если для любого ε>0 существует δ= δ(ε)>0 такое, что всякому исходному x*при котором Δ(x*)

• 
  Слайд 18

  ВЫВОДЫ

  Рассмотренные вопросы Приближенные числа и правила приближений. Погрешности арифметических операций. Основные свойства решений. Практические работы Примеры вычислений.