Презентация на тему "Математика конфликтов и принятия политических решений"

Содержание

• 
  Слайд 1

  МАТЕМАТИКА КОНФЛИКТОВ И ПРИНЯТИЯ ПОЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

  к.т.н. Вольский Владимир Иванович (vlad.volskiy@gmail.com)

• 
  Слайд 2
  

  Литература: Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. – М: ГУ ВШЭ, 2006(первое издание) 2012 (второе издание) Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов (основы теории).- М.: Наука. 1990. – 236 с. 3. Вольский В.И., Лезина З.М. Голосование в малых группах. – М.: Наука, 1991. 4. Брамс С., Тейлор А. «Делим по справедливости», М., СИНТЕГ, 2003. 5. Алескеров Ф.Т., Платонов В.В. Системы пропорционального представительства и индексы представительности парламента. Препринт WP7/2003/05 – М.: ГУ ВШЭ, 2003. – 44 с. 6. Алескеров Ф.Т., Ордешук П. Выборы. Голосование. Партии. – М.: Academia, 1995.

• 
  Слайд 3
  

  Оценка = 0,1* 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 + 0,2 * 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 + 0,7 * Работа на семинарах Домашнее задание Письменный зачет

• 
  Слайд 4
  

  Принятие решений - процесс, предпринимаемый индивидуумом или организацией (коллективом) для того, чтобы улучшитьбудущее состояние этого индивидуума или организации. Лицо, принимающее решение(ЛПР) – это индивидуум, который неудовлетворен существующей ситуацией или будущим развитием ситуации и который имеет желание и обладает властью для того, чтобы инициировать действия, предназначенные для изменения ситуации.

• 
  Слайд 5
  

  Голосование в малых группах

• 
  Слайд 6
  

  Избиратели Кандидаты: - кандидаты на выборную должность; - политические партии; - альтернативные проекты; - место предполагаемого отдыха; - и т.д.

• 
  Слайд 7
  

  Как описывается мнение избирателя? 1. Указание выбранного кандидата (кандидатов) или варианта (вариантов) 2. Построение упорядочения (ранжирование кандидатов) 3. Указание интенсивности предпочтений Задача построения коллективного решения или ,то есть:

• 
  Слайд 8
  

  Всегда ли правило «Относительное большинство голосов» приводит к приемлемому результату? (победитель – кандидат, набравший наибольшее число голосов) 12 избирателей, 3 кандидата – Иванов, Петров, Сидоров Совет директоров компании выбирает Генерального директора компании

• 
  Слайд 9
  

  Всегда ли правило «Абсолютное большинство голосов» приводит к приемлемому результату? (победитель – кандидат, набравший более 50% голосов) 11 избирателей, 4 кандидата – Иванов, Петров, Сидоров, Кондратьев Совет директоров компании выбирает Генерального директора компании

• 
  Слайд 10
  

  Парадокс А.В. Малишевского

• 
  Слайд 11
  

  Добавление кандидата влияет на результаты выборов (президентские выборы 1992 года)

• 
  Слайд 12
  

  Президентские выборы в США (1992 г.) Если бы Р. Перро снялся с выборов: У. Клинтон – 42,9% Дж. Буш (ст.) – 55,9% (Добавление с список кандидатов заведомо проигрывающего кандидата влияет на результаты выборов)

• 
  Слайд 13
  

  Президентские выборы в США (2000г.) Результаты: Гор - 50’992’335голосов (48,4%) Буш (мл.) - 50’455’156 голосов (47,9%) Грин - 2’882’897 голосов (2.7%) Остальные - 1’066’253 голосов (1%) Голоса выборщиков (538): Буш (мл.) – 271 (50,5%) Гор - 266 (49,5%) (Влияние на результат того, какая оцедура процедура используется)

• 
  Слайд 14
  

  Если кто-то из кандидатов набрал простое большинство голосов (т.е. более 50%), то он объявляется победителем. Если такого кандидата нет, то отбираются 2 кандидата, набравшие наибольшее число голосов, и после этого проводится голосование для этих двух кандидатов. Победитель Z, но 1). Zявляется худшимдля 10 избирателей,еще для 8 избирателейон также нежелателен. 2). Не выбран кандидат V, который побеждал по правилу относительного большинства голосов. 25 избирателей V – 8 голосов; Z – 7 голосов; Y – 5 голосов; W – 5 голосов (Yи Wотбрасываются) 25 избирателей Z – 15 голосов - избран V – 10 голосов Всегда ли двухступенчатая процедура приводит к логичному результату?

• 
  Слайд 15
  

  25 избирателей x – 25 голосов y– 23 голоса z – 10 голосов w – 7 голосов (Заметим, что кандидат у был лучшим для 23 из 25 избирателей) - избирается Если дать возможность избирателю отмечать в бюллетене не одного лучшего с его точки зрения кандидата, а столько, сколько он хочет, то всегда ли это приведет к разумному коллективному выбору?

• 
  Слайд 16
  

  Проблема манипулирования 1. Манипулирование со стороны избирателя Правило – относительное большинство голосов. Выбран – кандидат И Правило – относительное большинство голосов. Выбран – кандидат С Эта группа избирателей манипулирует (искажает свои истинные предпочтения)

• 
  Слайд 17
  

  Allan Gibbard (род. в 1942) (американский философ) Mark A. Satterthwaite (американский математик) Теорема Гиббарда – Саттаруэйта (1973 г.) Все детерминированные процедуры выбора являются либо диктаторскими, либо манипулируемыми, т. е. такими, при которых по меньшей мере один избиратель может голосовать за выбор, который не соответствует его истинным предпочтениям

• 
  Слайд 18
  

  2. Манипулирование путем предложения к рассмотрению новых альтернатив Голосование по поводу 17-й поправки к Конституции США (1905 г.) До принятия поправки члены Сената назначались законодательными органами штатов. Две альтернативы: S (status quo) – оставить всё как есть (сенаторы назначаются штатами). а (17-я поправка) – сенаторы избираются прямым голосованием в штатах. aа S S S a Либералы Демократы Консерваторы (республиканцы из южных штатов(республиканцы и демократы) и демократы) Процедура голосования в Сенате: Если предложена одна поправка, то она голосуется со Status quo. Если поправок несколько, то они голосуются попарно между собой, выигравшая поправка голосуется со Status quo. a versus S Победила бы a

• 
  Слайд 19
  

  a versus b победила b b versus S победила S b a S aS b S b a Либералы Демократы Консерваторы (республиканцы из южных штатов(республиканцы и демократы) и демократы) Сенатор от штата Нью-Йорк Ч. Депью (консерватор, сторонник S) предложил включить в рассмотрение третью альтернативу: b – принять 17-ю поправку с условием, что федеральному правительству будет разрешено контролировать проведение выборов в штатах. консерваторы добились, чтобы поправка не прошла

• 
  Слайд 20
  

  3. Манипулирование путем изменения формы представления рассматриваемых альтернатив Две партии: демократы (Д) и радикалы (Р) Число избирателей – 13 Избираются президент, сенатор и депутат парламента. Результаты голосования (как были заполнены бюллетени) 13 В результате голосования будут избраны: президент – Р сенатор – Д депутат – Д, то есть Р Д Д Если бы избирателям был предложен «пакет» Р Д Д , то за него не проголосовал бы ни один избиратель.

• 
  Слайд 21
  

  4. Случай, когда манипулирование приводит к более выгодному для большинства избирателей результату По правилу относительного большинства выбирается кандидат И П По правилу относительного большинства выбирается кандидат П И С П лучше, чем С для 5 избирателей из 7 П лучше, чем И для 4 избирателей из 7 Эта группа избирателей манипулирует (искажает свои истинные предпочтения)

• 
  Слайд 22
  

  5. Взаимообмен голосами Парламент: партия А – 40% мест, партия Б – 30% мест, партия В – 30% мест. Партия А хочет провести законопроект о повышении импортных тарифов на стройматериалы. Партия Б хочет провести законопроект о снижении экспортных пошлин на древесину. Классический пример: Решение Первого Конгресса США о размещении столицы Государства в Вашингтоне (1790 г.) Где разместить столицу? Д. Мэдисон (представлял штат Вирджинию) – за Вашингтон А. Гамильтон (представлял штат Нью-Йорк) – за Нью-Йорк Кто должен платить долги штатов после войны за независимость? Д. Мэдисон – сами штаты (потому что Вирджиния уже расплатилась с долгами) А. Гамильтон – федеральное правительство (штат Нью-Йорк имел долги) Результат: Д. Мэдисон уступил в вопросе о долгах А. Гамильтон уступил в вопросе о столице

• 
  Слайд 23
  

  Плутарх из Херонеи (ок. 45 г. н.э. – ок. 127 г. н.э.) «Сравнительные жизнеописания» Ликург Спартанский (VIII в. до н.э.) Выборы в совет старейшин. Участие в общих трапезах. Принятие коллективных решений с помощью голосования (небольшой экскурс в историю)

• 
  Слайд 24
  

  Остракизм – изгнание гражданина из государства посредством голосования. Аристотель утверждает, что остракизм был введен автором демократических реформ в Афинах Клисфеном около 508 г. до н.э. Остракизм перестал производиться после 417 г. до н.э. В Народном Собрании Афин ставился вопрос о необходимости остракизма. Если решение было положительным, то проводился остракизм.

• 
  Слайд 25
  

  Бои гладиаторов Впервые – в 264 г. до н.э. на Бычьем рынке на поминках по Бруту Пере (погребальные игры). В подражание обычаям этрусков при церемониях в честь покойных взамен прежних человеческих жертвоприношений. С 105 г. до н.э. гладиаторские игры вводятся в число публичных зрелищ. Гладиаторские бои были запрещены в 400 г. н.э.

• 
  Слайд 26
  

  Манипулирование со стороны организатора голосования Плиний Младший в письме Аристону (II в н.э.) Консул Афраний Декстр найден мертвым. Мнения в Сенате: Группа А – освободить слугу Группа Б – ссылка слуги. Группа В – казнь слуги. Плиний Младший председательствовал в Сенате и был в группе А.

• 
  Слайд 27
  

  Папа Лев I (440 г.) – «Каждый, кому предстоит управлять, должен быть избираем всеми, кем он призывается управлять» III Латеранский собор (1179 г.) – «Для избрания Папы требуется большинство в две трети голосов» Папа Бонифаций VIII ( 1294 – 1303 г.г.) – «Не производить сравнение усердия или заслуг голосующих, но лишь подсчитывая голоса» С 1159 г. в некоторых церковных сообществах начал использоваться принцип тайного голосования.

• 
  Слайд 28
  

  Новгородское вече 1016 г. – Ярослав Мудрый впервые созвал новгородское вече 15 января 1478 г. – конец существования Новгородского государства (вечевой колокол отвезен в Москву) Гай Корнелий Тацит (ок. 56 – ок. 117 г. н.э.) – «О происхождении германцев и местоположении Германии» Ting (скандинав.), Tag (нем.) - древнескандинавское и германское правительственное собрание

• 
  Слайд 29
  

  Раймунд Луллий (1235 – 1315) (лат. Raymundus Lullius, каталан. Ramon Llull) Впервыепредложил три процедуры, основанные напопарном сравнении кандидатов избирателями. «Применение попарных сравнений добродетелей кандидатов должно привести к демонстрации истинности святой католической веры путем использования необходимых доводов для убеждения тех, которые не осведомлены о ней». Такой же подход был предложен маркизом Кондорсе в конце XVIII века

• 
  Слайд 30
  

  Николай Кузанский (1401 – 1464) (лат. Nicolaus Cusanus; настоящее имя – лат. Nicolaus Krebs) – крупнейший немецкий философ, теолог, ученый и церковный деятель. Право избрания должно принадлежать гражданам, которые передают его коллегии кардиналов (в случае избрания папы) или коллегии выборщиков (если речь идет об избрании императора Священной Римской империи). Каждый избиратель получает бюллетень со списком кандидатов. Затем избиратель напротив каждого имени кандидата в соответствии со своими предпочтениями ставит число от 1 до числа, равного количеству кандидатов в списке. Например, если в бюллетене указаны 10 кандидатов, то лучшего с его точки зрения кандидата избиратель помечает числом «10», следующего в его предпочтениях кандидата он помечает числом «9», и т.д. Худшего с его точки зрения избиратель помечает числом «1». Процедура голосования, предложенная Николаем Кузанским: Процедура совпадает с процедурой Борда, предложенной в конце XVIII века. Важной для Николая Кузанского является построение иерархии, ранжирования служителей церкви.

• 
  Слайд 31
  

  Период Великой французской революции (конец XVIII в.) заседания Конвента; решение о казни Людовика XVI Число членов Конвента – 745 Три вопроса: 1. Виновен ли Людовик XVI? («за» - 683 голоса) 2. Следует ли любое принятое решение передавать на обсуждение народа? («нет» большинством голосов) 3. Какого наказания заслуживает Людовик XVI? «Смертной казни» - 380 голосов; «Тюремного заключения» - 310 голоса.

• 
  Слайд 32
  

  Jean Charles Borda (1733 – 1799) Пример Борда (1770 год): Сумма рангов: А: 1 * 7 + 3 * 6 + 3 * 5 = 40 В: 2 * 7 + 1 * 6 + 2 * 5 = 30 С: 3 * 7 + 2 * 6 + 1 * 5 = 38 18 избирателей, 3 кандидата – А, В, С

• 
  Слайд 33
  

  Пример Кондорсе (1785 год): По большинству голосов:А(23 голоса), В (19 голосов), С (18 голосов) По системе «больше половины голосов» (голосование в два тура): 1-й тур: отбрасывается кандидат С. 2-й тур: В (35 голосов), А (25 голосов) Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet (1743 – 1794) «Всякое общество, не просвещенное философами, оказывается жертвой шарлатанов.» (Кондорсе) 60 избирателей, 3 кандидата: А, В, С.

• 
  Слайд 34
  

  Сравниваем А и В: А– 25 голосов, В– 35 голосов В лучше, чем А Сравниваем В и С: В– 19 голосов, С– 41 голос С лучше, чем В Сравниваем А и С: А– 23 голоса, C– 37 голосов Случше, чем А С лучше, чем А; С лучше, чем В; В лучше, чем А Коллективное упорядочение Кандидат С называется победителем Кондорсе (кандидат С побеждает каждого другого кандидата при попарном сравнении кандидатов).

• 
  Слайд 35
  

  Парадокс Кондорсе Сравниваем кандидатов попарно: 3 избирателя, 3 кандидата – A, B, C A B C Сравниваем А и В: А– 2 голоса, В– 1 голос А лучше, чем В Сравниваем В и С: В– 2 голоса, С– 1 голос В лучше, чем С Сравниваем А и С: А– 1 голос, C– 2 голоса Случше, чем А

• 
  Слайд 36
  

  Другая процедура, предложенная Кондорсе (Condorcet practical rule) (применялась в Парламенте г. Женева в конце XVIII века): Первый слой – никто не выбирается; Первый и второй слои – выбирается А Первый слой – никто не выбирается; Первый и второй слои – выбирается Б Коллективное упорядочение: А Б В Г

• 
  Слайд 37
  

  Парадокс Эрроу (1951 г.) Kenneth Arrow (род. 1921 г.) Нобелевская премия – 1972 г. Условия, которым должна удовлетворять процедура голосования: Число избирателей не меньше 2, число кандидатов не меньше 3. Мнения избирателей представлены в виде упорядочений кандидатов. Коллективное решение является упорядочением кандидатов. Независимость от посторонних кандидатов. Условие единогласия. Единственным правилом построения коллективных решений, удовлетворяющим четырем условиям Эрроу, является диктаторское правило.

• 
  Слайд 38
  

  Графы Леонард Эйлер (1736 г.) Река Прегель Кенигсберг

• 
  Слайд 39
  

  А Б В Г

• 
  Слайд 40
  

  Графы Графом называется пара , где А – конечное множество вершин, Г – множество дуг (ребер) Графы Неориентированные графы Ориентированные графы Пример. Вершины графа – города в районе; Дуги графа – наличие асфальтированной дороги между двумя городами Пример. - баскетбольные команды Пример. - результат игр работающие в одном офисе - наличие симпатии - города в районе

• 
  Слайд 41
  

  Задача построения коллективного решения ,то есть: Процедуры голосования в малых группах (избиратели должны ранжировать кандидатов в своих бюллетенях) Избиратель Избиратель

• 
  Слайд 42
  

  1. Плюралитарная процедура 2. Обратная плюралитарная процедура Вспомогательная шкала «Сумма первых мест» 0 2 1 3 Иванов Петров Кошкин Сидоров Вспомогательная шкала «Сумма последних мест» 0 2 1 3 Петров Иванов Сидоров Кошкин

• 
  Слайд 43
  

  Мажоритарный граф Вершины мажоритарного графа – кандидаты. Сравнивается каждая пара кандидатов. Стрелка на мажоритарном графе проводится от кандидата А к кандидату В, если более половины избирателей предпочитают кандидата А кандидату В. Иванов . . Петров Если существует кандидат, который побеждает каждого другого кандидата при таком попарном сравнении, то такой кандидат называется победителем Кондорсе.

• 
  Слайд 44
  

  3. Правило выбора победителя Кондорсе П К С И победитель Кондорсе Иванов Петров Сидоров победитель Кондорсе

• 
  Слайд 45
  

  При некоторых профилях предпочтений избирателей победителя Кондорсе нет (парадокс Кондорсе) Если число избирателей четно, то может быть несколько победителей Кондорсе (слабые победители Кондорсе) A B C D . . . . A B C D

• 
  Слайд 46
  

  4. Процедура Борда Сумма рангов: Иванов: 1 + 3 + 4 = 8 Петров: 2 + 2 + 2 = 6 Сидоров: 3 + 1 + 3 = 7 Кошкин: 4 + 4 + 1 = 9

• 
  Слайд 47
  

  Всегда ли выбор по процедуре Кондорсе и процедуре Борда совпадают? Мальдивы – по правилу Борда ( по сумме рангов) Ямайка – победитель Кондорсе (выигрывает все попарные сравнения) Сумма рангов: Мальдивы: 1 + 2 + 2 = 5 Ямайка: 4 + 1 + 1 = 6 Сейшелы: 2 + 3 + 4 = 9 Бали: 3 + 4 + 3 = 10 Ямайка Мальдивы Сейшелы Бали Мажоритарный граф

• 
  Слайд 48
  

  5. Процедура Блэка Duncan Black (1908 – 1991) Если существует победитель Кондорсе на мажоритарном графе, то он считается коллективно выбранным. Если победителя Кондорсе нет, то применяется процедура Борда (по сумме рангов)

• 
  Слайд 49
  

  6. Процедура Нансона Подсчитывается сумма рангов по Борда. Исключается варианты с суммой ранговых мест, равной или большей чем среднее арифметическое значение. 3. Подсчитывается сумма рангов по Борда для уменьшенного таким образом множества вариантов. 4. Процедура продолжается до тех пор, пока не останутся неисключаемые варианты. 14 13 12 11 B C A D Среднее арифметическое по шкале «Сумма ранговых мест»: (14 + 13 + 12 + 11) / 4 = 12.5 8 7 A D Edward John Nanson (1850 – 1936) Сумма ранговых мест Сумма ранговых мест

• 
  Слайд 50
  

  Сумма рангов: Мальдивы - 5 Ямайка - 6 Сейшелы - 9 Бали -10 Ямайка Мальдивы Сейшелы Бали Процедура Нансона: Среднее арифметическое сумм рангов = (5 + 6 + 9 + 10) / 4 = 7,5 Сумма рангов: Ямайка - 4 Мальдивы - 5 Если победитель Кондорсе существует, то выбор по процедуре Нансона совпадет с победителем Кондорсе.

• 
  Слайд 51
  

  William Robert Ware (1832 – 1915) Избран кандидат А 7. Процедура Уэйра Выбирается кандидат получивший более 50% первых мест в упорядочениях избирателей. Если такой кандидат существует, то процедура останавливается. В противном случае из списка удаляется кандидат, занявший наименьшее число первых мест. 3. Процедура повторяется для уменьшенного таким образом списка кандидатов. Instant-runoff voting Transferable voting ( )

• 
  Слайд 52
  

  Процедура Кумбса Clyde Coombs (1912 – 1988) Удаляется D Удаляется C A– коллективный выбор Выбирается кандидат, получивший более 50% первых мест в упорядочениях избирателей. Если такой кандидат существует, то процедура останавливается. В противном случае из списка кандидатов удаляется кандидат, которого считают худшим наибольшее число избирателей. Процедура повторяется для уменьшенного таким способом списка кандидатов.

• 
  Слайд 53
  

  Мажоритарные графы и матрицы смежности А В С Мажоритарный граф А В С А В С Матрица смежности

• 
  Слайд 54
  

  9. Процедура Коупленда A. H. Copeland (1951) A B C D Коллективный выбор - A , C Мажоритарный граф A B C D Матрица смежности (турнирная матрица) A B C D

• 
  Слайд 55
  

  Профессиональная баскетбольная лига России

• 
  Слайд 56
  

  Таблица турнира по баскетболу ЦСКА (Ц), Химки (Х), УНИКС (У), Триумф (Т) Ц Х У Т Ц Х У Т Сумма очков Турнирная матрица Матрица Ц Х У Т Сумма очков тех, которых команда обыграла Матрица Ц Х У Т Ц Х У Т Ц Х У Т + = Ц Х У Т Ц Х У Т Ц Х У Т Ц Х У Т

• 
  Слайд 57
  
• 
  Слайд 58
  

  x y z v t( x ) – число инверсий, после которых кандидат x становится победителем Кондорсе Для кандидата x: t( x ) = 1 Для кандидата y: t( y ) = 2 Для кандидата z: t( z ) = 1 Для кандидата v: t( v ) = 2 Победители – кандидаты xи z Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll) (1832 – 1898) 10. Процедура Доджсона

• 
  Слайд 59
  

  11. Процедура выбора минимального доминирующего подмножества Мажоритарный граф: A B C D E Выбор: А, В, С

• 
  Слайд 60
  

  Характеристические условия (критерии «разумности» процедур голосования» Принцип Кондорсе. Если победитель Кондорсе существует, то коллективный выбор состоит из этого победителя Кондорсе. Транзитивность Кондорсе. Если кандидат х принадлежит коллективному выбору, и при этом более половины избирателей предпочитают кандидата у кандидату х, то кандидат утакже принадлежитколлективному выбору. Согласованность. Две группы избирателей. Каждая группа имеет свой профиль предпочтений относительно кандидатов. Процедура голосования называется согласованной, если из того факта, что кандидат х входит в коллективный выбор как в первой, так и во второй группе избирателей, этот кандидат х будет коллективно выбран и вобъединенной группе избирателей. Условие вложенности в множество Парето. Выбранный процедурой голосования кандидатдолжен принадлежать множеству Парето.

• 
  Слайд 61
  

  Результаты анализа ряда процедур голосования

• 
  Слайд 62
  

  Процедура Борда нарушает принцип Кондорсе Сумма рангов: Мальдивы - 5 Ямайка - 6 Сейшелы - 9 Бали - 10 Ямайка Мальдивы Сейшелы Бали победитель Кондорсе Процедура Борда нарушает условие транзитивности Кондорсе Сумма рангов: x – 5 (победитель по процедуре Борда) y – 6 z – 8 v – 11 Транзитивность Кондорсе. Если кандидат х принадлежит коллективному выбору, и при этом более половины избирателей предпочитают кандидата у кандидату x, то кандидат утакже принадлежитколлективному выбору. Принцип Кондорсе. Если победитель Кондорсе существует, то коллективный выбор состоит из этого победителя Кондорсе.

• 
  Слайд 63
  

  Плюралитарная процедура нарушает принцип Кондорсе Принцип Кондорсе. Если победитель Кондорсе существует, то коллективный выбор состоит из этого победителя Кондорсе. Сумма первых мест 0 1 x, z, v y . . . . y x z v победитель Кондорсе Плюралитарная процедура нарушает условие транзитивности Кондорсе Транзитивность Кондорсе. Если кандидат х принадлежит коллективному выбору, и при этом более половины избирателей предпочитают кандидата у кандидату x, то кандидат у также принадлежитколлективному выбору. Сумма первых мест 0 1 x y 2 Выбор по плюр. процедуре Выбор по плюр. процедуре z, v, w

• 
  Слайд 64
  

  Процедура Коупленда нарушает условие транзитивности Кондорсе Транзитивность Кондорсе. Если кандидат х принадлежит коллективному выбору, и при этом более половины избирателей предпочитают кандидата у кандидату x, то кандидат у также принадлежитколлективному выбору. x y z v x x y y z z v v Сумма очков Xи Z - победители по процедуре Коупленда