Презентация на тему "Определение напряжений на различных площадках"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Определение напряжений на различных площадках

• 
  Слайд 2
  

  Напряжения на наклонных площадках

• 
  Слайд 3
  

  Элементарный объём в форме параллепипеда, связанный с системой координат таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью

• 
  Слайд 4
  

  Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали  с направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное напряжение Р с проекциями по осям Рх, Ру, Рz. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке - и . Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:   dFx = dFl, dFy = dFm, dFz = dFn.

• 
  Слайд 5
  

  Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х: Х = 0, PxdF - xdFx - yxdFy- zxdFz = 0, PxdF - xdFl - yxdFm- zxdFn = 0, Px= xl + yxm+ zxn. Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z Py= xyl+ym + zyn, Pz= xzl+ yzm +zn.

• 
  Слайд 6
  

  Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль. = Pxl + Pym + Pzn= =(xl + yxm+ zxn)l + (xyl+ym + zyn)m + +(xzl+ yzm +zn)n = =xl2 + yxml+ zxnl + xylm+ym2 + zynm + xzln+ yzmn+zn2  Px Py Pz

• 
  Слайд 7
  

  С учетом закона парности касательных напряжений (yx= xy, yz= zy, zx= xz), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений: = xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml+ 2zxnl + 2zynm Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке: Р2 = Px2 + Pу2+ Pz2 = 2 + 2, 2= Px2 + Pу2+ Pz2 - 2.

• 
  Слайд 8

  Главные площадки и главные напряжения

• 
  Слайд 9
  

  Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее положения, то есть от направляющих косинусов l, m, n. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю.

• 
  Слайд 10
  

  Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения (=0). Px= l, Pу = m, Pz= n.

• 
  Слайд 11
  

  Проекции по координатным осям: Px= xl + yxm+ zxn = l, Pу = xyl+ ym + zyn = m, Pz= xzl+ yzm + zn = n. В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l, m, nи главное напряжение ), поэтому необходимо четвертое уравнение: (x - )l + yxm+ zxn = 0 xyl+ (y - )m + zyn = 0 xzl+ yzm + (z - )n = 0 l2 + m2 + n2 = 1

• 
  Слайд 12
  

  Система уравнений имеет ненулевое решение (нулевое не устраивает из-за четвертого уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы: x - yxzx xyy - zy = 0 xzyzz -  Раскроем определитель  (x - )(y - )(z - ) + yxzyxz + xyyzzx - xz(y - )zx - xyyx(z - ) - yzzy(x - ) = 0.

• 
  Слайд 13
  

  Сгруппируем слагаемые по степеням главного напряжения - 3 + 2(x + y + z) - (yz+ xz+ xу - xz2 - xу2 - уz2) + (xyz + 2xyyzzx- yxz2- zxу2- - хуz2) = 0.   Запишем это уравнение в более компактной форме  3 – I12 + I2 – I3 = 0 где I1 = x + y + z, I2 = yz + xz + xу- xz2 - xу2 - уz2, I3 = xyz + 2xyyzzx- yxz2- zxу2- хуz2

• 
  Слайд 14
  

  Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Так как главные напряжения в точке являются физической характеристикой, то они не зависят от выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов также не зависят от выбора системы координат. Решая кубическое уравнение, получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: 1 2 3. Подставляя величину главного напряжения в систему, можно определить положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.

• 
  Слайд 15

  Виды напряженных состояний в точке

• 
  Слайд 16
  

  Объемное (трехосное) напряженное состояние I10,I20,I30, следовательно три главных напряжения отлично от нуля. Плоское (двухосное) напряженное состояние I10, I20,I3=0, следовательно два главных напряжения отлично от нуля. Чистый сдвиг (частный случай плоского) I1=0, I20,I3=0, следовательно два главных напряжения отлично от нуля (причем 1 =-3). Линейное (одноосное) напряженное состояние I10, I2=0, I3=0, следовательно одно главное напряжение отлично от нуля.

• 
  Слайд 17

  Примеры различных видов напряженных состояний

• 
  Слайд 18
  

  Объемное- возникает во время объемной штамповки

• 
  Слайд 19
  

  Плоское-возникает при изгибе или изгибе с кручением

• 
  Слайд 20
  

  Чистый сдвиг-возникает при кручении

• 
  Слайд 21
  

  Линейное- возникает при растяжении-сжатии

• 
  Слайд 22

  Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора

• 
  Слайд 23
  

  = 1l2 + 2m2 + 3n2 Pх= 1l Pу= 2m Pz= 3n Р2= Pх2+ Pу2+ Pz2= 12l2 + 22m2 + 32n2

• 
  Слайд 24
  

  = 1l2 + 2m2 + 3n2 2 + 2 = 12l2 + 22m2 + 32n2 1 = l2 + m2 + n2 Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам  а + b(2 + 2) + с = = l2(а1 + b12 + с) + m 2(а2 + b22 + с) + +n2(а3 + b32 + с)

• 
  Слайд 25
  

  Для определения величины l2 подберем коэффициенты a, b, c таким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения обнулились:  а2 + b22 + с = 0, а3 + b32 + с = 0, получаем b= 1, a= -(2 +3), с = 23. Подставляя полученные коэффициенты в уравнение , находим величину l2:  l2==  

• 
  Слайд 26
  

  Упрощая получим: l2= аналогичнонаходим квадраты двух других направляющих косинусов: m2= n2=  

• 
  Слайд 27
  

  В уравнениях дроби должны быть больше нуля, так как в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства 1 2 3:   0,  0, 0. На основе неравенств можно сделать вывод о знаке числителя:  0, 0, 0.  

• 
  Слайд 28
  

  Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически:  (-)2+2  ()2  

• 
  Слайд 29
  

  Представим решение системы графически. Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений. (-)2+2  ()2   (-)2+2()2   (-)2+2  ()2  

• 
  Слайд 30
  

  1 - максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке; 3 - минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке; max =- максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45.