Презентация на тему "Квадратные уравнения: методы решения"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Квадратные уравнения:методы решения.

• 
  Слайд 2
  

  «Уравнение - этозолотойключ, открывающийвсематематическиесезамы». С. Коваль.

• 
  Слайд 3

  ПЛАН УРОКА

  1. Теоретическая разминка. 2. Энциклопедия квадратных уравнений. 3. Думающий колпак. 4. Историческая справка. 5. Копилка ценных мыслей. 6. Домашнее задание.

• 
  Слайд 4
  

  Сформулируйтеопределение квадратного уравнения. 2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0). 3. Перечислите виды квадратных уравнений. 4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример. 5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример. 6. Способы решения полного квадратного уравнения? Вопросы теоретической разминки: подробнее подробнее

• 
  Слайд 5

  Специальные методы:

  1.Метод выделения квадрата двучлена. 2.Метод «переброски» старшего коэффициента. 3.На основании теорем.

• 
  Слайд 6

  Общие методы:

  Разложение на множители; Введение новой переменной; Графический метод.

• 
  Слайд 7
  

  ДУМАЮЩИЙ КОЛПАК Большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей. УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ • Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно. • Упражнение повторяют трижды или более раз.

• 
  Слайд 8
  

  . Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ Кристиан Вольф. Кристиан Вольф- знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B0%D0%BD_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84

• 
  Слайд 9
  

  Сильвестр Джеймс Джозеф – английский математик, который ввел термин «дискриминант». http://www.persons-info.com/index.php?pid=10965

• 
  Слайд 10
  

  В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различныхвидов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – МихаэльШтифель. Это было настоящее событие в математике. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D1%82%D0%B8%D1%84%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C

• 
  Слайд 11

  Домашнее задание

  Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0: используя формулу дискриминанта –«3», двумя способами –«4», тремя способами – «5». Дополнительно. Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.

• 
  Слайд 12

  Энциклопедия квадратного уравнения

  подробнее

• 
  Слайд 13
  

  РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в=0 ах2+с=0 с=0 ах2+вх=0 в,с=0 ах2=0 подробнее подробнее подробнее

• 
  Слайд 14

  Алгоритм решения

  1.Переносим с в правую часть уравнения. ах2= - с. 2.Делим обе части уравнения на а≠0. х2= . 3.Если –с/а>0 -два решения: х1 = и х2 = - Если

• 
  Слайд 15
  

  Выносим x за скобки: х(ах + в) = 0. 2. «Разбиваем» уравнение на два: x =0, ах + в = 0. 3. Два решения: х = 0 и х = (а≠0). Алгоритм решения с=0 ах2+вх=0

• 
  Слайд 16
  

  1. Делим обе части уравнения наа≠0. х2 = 0 2. Одно решение:х = 0. Алгоритм решения Подведём итог! в,с=0 ах2=0

• 
  Слайд 17

  Неполные квадратные уравнения:

• 
  Слайд 18
  

  D 0 Корней нет

• 
  Слайд 19
  

  b = 2k (чётное число)

• 
  Слайд 20

  Теорема Виета

  x1 и х2– корни уравнения x1 и х2– корни уравнения

• 
  Слайд 21
  

  Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению. Пример:х2 - 6х + 5 = 0. Метод выделения квадрата двучлена. подробнее

• 
  Слайд 22
  

  Корни квадратных уравнений и связаны соотношениями и Пример: Метод «переброски» старшего коэффициента. подробнее 2х2 - 9х – 5 = 0.

• 
  Слайд 23

  На основании теорем:

  Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен Если в квадратном уравнении a+c=b,то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен Примеры: подробнее 200х2 + 210х + 10 = 0.

• 
  Слайд 24

  Метод разложения на множители

  привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х. Цель: Вынесение общего множителя за скобки; Использование формул сокращенного умножения; Способ группировки. Способы: Пример: подробнее 4х2 + 5х + 1 = 0.

• 
  Слайд 25

  Введение новой переменной.

  Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Пример: подробнее (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.

• 
  Слайд 26

  Графический метод

  Для решения уравнения f(x)=g(x) необходимо построить графики функций y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения. Пример: подробнее х2 =х+2.

• 
  Слайд 27
  

  Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

• 
  Слайд 28

  Метод выделения квадрата двучлена.

  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0. х2 - 6х + 5 = 0. (х -3)2– 4 = 0. (х -3)2 = 4. х– 3 = 2 ; х– 3 = -2. х = 5, х =1. Ответ: 5; 1.

• 
  Слайд 29

  Метод “переброски” старшего коэффициента

  ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0 связаны соотношениями: Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0. у2 - 9у - 10 = 0. D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10, далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5. Ответ: 5; -0,5.

• 
  Слайд 30
  

  Теорема 1.Если в квадратном уравненииa + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен

  Решите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0. 137х2 + 20х– 157 = 0. a = 137, b = 20, c = -157. a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0. x1 = 1, х2= -157/137. Ответ: 1; -157/137. .

• 
  Слайд 31
  

  Теорема 2.Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен

  Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0. 200х2 + 210х + 10 = 0. a = 200, b = 210, c = 10. a + c = 200 + 10 = 210 = b. х1 = -1, х2 = - Ответ: -1; -0,05

• 
  Слайд 32

  Метод разложения на множители.

  Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0. 4х2 + 5х + 1 = 0. 4х2 + 4х + х + 1 = 0. 4х(х+1) + (х+1) = 0. 4х(х + 1) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. 4х = 0 и х + 1 = 0. х = 0, х = -1. Ответ: 0; -1.

• 
  Слайд 33

  Метод введения новой переменной.

  Решите уравнение (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2. (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2. Пусть: t = 2х + 3. Произведем замену переменной: t2 = 3t - 2. t2 -3t + 2 = 0. D > 0. По теореме, обратной теореме Виета: t1 = 1, t2 = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни: -1; -0,5. Ответ: -1; -0,5.

• 
  Слайд 34
  

  3. в=0 ах2+с=0 2. с=0 ах2+вх=0 1. в,с=0 ах2=0 4. b - нечётное ах2+bx+с=0 5. b - чётное ах2+bx+с=0 6. Теорема Виета. 7. Метод выделения квадрата двучлена. 8. Метод «переброски» старшего коэффициента. 9. Т1 или Т2. 10. Метод разложения на множители. 11. Метод введения новой переменной.

• 
  Слайд 35
  
• 
  Слайд 36
  

  Математик немного поэт. Т. Вейерштрасс http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/158739/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81