Презентация на тему "Дифференциальные уравнения высших порядков"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

• 
  Слайд 2

  1. Общие сведения.

• 
  Слайд 3

  Определение.

  Дифференциальное уравнение содержащее производную функции двух и более порядков, называется дифференциальным уравнением порядка высшее первого. Уравнение порядка “”- или

• 
  Слайд 4

  Теорема:

  Дано дифференциальное уравнение и система начальных условий , ,…., Если функция непрерывна в окрестностях начального условия и имеет непрерывные частные производные по , то существует и притом единственное решение уравнения, определенное и непрерывное в некотором интервале содержащем , и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.

• 
  Слайд 5

  2.Типы уравнений, допускающих понижение порядка.

• 
  Слайд 6

  1.

• 
  Слайд 7

  2.

  Дифференциальное уравнение не содержащее явно и младших производных до (k-1) порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц

• 
  Слайд 8

  3.

  Уравнение вида также допускает понижение порядка путем замены обоих переменных.

• 
  Слайд 9

  4.

  Если левая часть уравнения есть точная правая, то порядок уравнения поднимается на единицу путем непосредственного интегрирования. (Это уравнение встречается редко, но к этому виду приводятся некоторые уравнения.)

• 
  Слайд 10

  Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка.

• 
  Слайд 11
  

  Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

• 
  Слайд 12

  Теорема

  Пусть коэффициент , . Линейное дифференциальное уравнение непрерывно на некотором отрезке [a;b]. одно и только одно решение дифференциального уравнения, определенное и непрерывное на всем интервале (a;b), удовлетворяющее этому уравнению и любой системе начальных условий, если только значение принадлежит интервалу (a;b).

• 
  Слайд 13

  Определение:

  Уравнение вида называется линейным однородным дифференциальным уравнением.

• 
  Слайд 14

  Определение.

  Обозначим линейную часть уравнения через , . . Выражение называется линейным дифференциальным оператором от функции .

• 
  Слайд 15

  Свойства линейного дифференциального оператора.

  1.Постоянный множитель можно выносить за знак оператора, то есть для любого n размерной дифференциальной функции - свойство однородности. 2.Оператор от суммы двух функций и равен сумме операторов от каждого из слагаемых в отдельности, то есть для любых n раз дифференцируемых функций и верно равенство: - свойство аддитивности

• 
  Слайд 16

  Определение:

  Линейное дифференциальное однородное уравнение можно записать в виде

• 
  Слайд 17
  

  Теоремы о свойствах частичных решений

• 
  Слайд 18

  Теорема1.

  Если функция является решением уравнения , то и функция есть решение этого уравнения.

• 
  Слайд 19

  Теорема2.

  Если функции и являются решениями уравнения , то и функция есть решение этого уравнения.

• 
  Слайд 20

  Теорема3.

  Если - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация есть также решение этого уравнения.

• 
  Слайд 21
  

  Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского и его применение.

• 
  Слайд 22

  Определение.

  Система функций определенных и непрерывных на отрезке [a;b] называется линейно зависимой на отрезке [a;b], если n таких чисел , что выполняется тождество , при этом (не все одновременно равны нулю) .

• 
  Слайд 23

  Теорема.

  Если уравнение линейно зависимо, то хотя бы одну из них можно выразить через остальные.

• 
  Слайд 24
  

  Если функции системы дифференцируемы n-1 то из них можно построить определитель n-го порядка, который имеет вид Этот определитель является функцией от х и обозначается Этот определитель называется определителем Вронского

• 
  Слайд 25

  Теорема1.

  Если функции линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равен 0.

• 
  Слайд 26

  Теорема 2.

  Если - линейно независимые функции, удовлетворяющие некоторому однородному дифференциальному уравнению n-го порядка, то определитель системы не обращается в ноль ни в одной точке.

• 
  Слайд 27

  Определение.

  Систему частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называют фундаментальной, если она состоит из n независимых функций.

• 
  Слайд 28

  Теорема.

  Любое линейное однородное дифференциальное уравнение обладает бесчисленным множеством фундаментальных систем.

• 
  Слайд 29

  Теорема

  Если функции образуют фундаментальную систему решений уравнения ,то их линейная комбинация - является общим решением этого уравнения.

• 
  Слайд 30

  Линейное однородное уравнение с постоянным коэффициентом.

• 
  Слайд 31

  Определение.

  Уравнение вида , г де =const, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом.

• 
  Слайд 32
  

  называется характеристическим членом линейного однородного дифференциального уравнения.

• 
  Слайд 33
  

  Уравнение называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения.

• 
  Слайд 34
  

  Все корни уравнения действительны и различны

• 
  Слайд 35
  

  линейная комбинация является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения.

• 
  Слайд 36
  

  Все корни различны, но среди них есть комплексные

• 
  Слайд 37

  формулы Эйлера:

• 
  Слайд 38
  

  паре комплексных сопряженных корней можно поставить в соответствие частных решений

• 
  Слайд 39
  

  Доказать самостоятельно линейную независимость системы частных решений

• 
  Слайд 40
  

  При доказательстве нигде не учитывается, что - действительное число поэтому когда пара корней является двойной, то ей соответствует четыре частных решения следующих видов:

• 
  Слайд 41

  Вывод:

  Задача нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n – го порядка с постоянным коэффициентом сводится к нахождению всех корней алгебраического уравнения n-ой степени.

• 
  Слайд 42

  3.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

• 
  Слайд 43

  Определение

  Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

• 
  Слайд 44
  

  Теорема(о структуре общего решения линейного неоднородногодифференциального уравнения):

  Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного (при g=0), .

• 
  Слайд 45

  Теорема2:

  Если правая часть неоднородного уравнения есть сумма двух функций, т.е. , то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно и