Презентация на тему "РЕШЕНИЕ ДИФУР"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задача Коши.

• 
  Слайд 2
  

  Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функций у = у(х). Их можно записать в виде где х — независимая переменная.

• 
  Слайд 3
  

  Наивысший порядокnвходящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального уравнения.

• 
  Слайд 4
  

  Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая п раз дифференцируемая функция, которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

• 
  Слайд 5
  

  Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (1) содержит n произвольных постоянных C1, С2, ... , Сn: Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

• 
  Слайд 6
  

  задача Коши (дополнительные условия задаются в одной точке) краевая задача (дополнительные условия задаются в более чем одной точке)

• 
  Слайд 7
  

  Пример:

• 
  Слайд 8
  

  Решение задачи Коши. сущность метода конечных разностей. состоит в следующем: 1. область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек - узлами. Эти узлы составляют разностную сетку.

• 
  Слайд 9
  

  2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке (сеточной функцией). 3. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции.

• 
  Слайд 10
  

  Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

• 
  Слайд 11
  

  Метод Эйлера. Рассмотрим уравнение с начальным условием для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений х > x0.

• 
  Слайд 12
  

  1.выбирается достаточно малый шаг и строится система равноотстоящих точек 2. Вычисляются

• 
  Слайд 13
  

  При этом искомая интегральная кривая проходящая через точку заменяется ломанной с вершинами .

• 
  Слайд 14
  

  Для оценки погрешности на практике пользуются двойным просчетом: с шагом h и шагом h/2. Погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так: где - значение точного решения уравнения при , -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h . - приближенное значение полученное с шагом h/2.

• 
  Слайд 15
  

  Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка с начальными условиями

• 
  Слайд 16
  

  Приближенные значения вычисляются для этой системы по формулам

• 
  Слайд 17
  

  Модификации метода Эйлера. 1) Метод Эйлера-Коши

• 
  Слайд 18
  

  Оценка погрешности в точке , полученная с помощью двойного пересчета, имеет вид: где - значение точного решения уравнения при , -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h . - приближенное значение полученное с шагом h/2.

• 
  Слайд 19
  

  2) другая модификация метода Эйлера заключается в итерационном уточнении значения на каждом шаге. В качестве нулевого приближения берут

• 
  Слайд 20
  

  Далее строится итерационный процесс Итерации продолжают до тех пор, пока для двух последовательных приближений не будет выполнено условие

• 
  Слайд 21
  

  Как правило, при достаточно малом h итерации быстро сходятся. Если после трех-четырех итераций не произошло совпадение нужного числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг расчета h.

• 
  Слайд 22
  

  Метод Рунге-Кутта. Рассмотрим уравнение с начальным условием

• 
  Слайд 23
  

  Если известно значение в точке , то вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:

• 
  Слайд 24
  
• 
  Слайд 25
  

  Оценку погрешности метода можно получить с помощью двойного просчета по формуле