Презентация на тему "5.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель"

Содержание

• 
  Слайд 1

  5.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

• 
  Слайд 2

  Теорема:

  Для того чтобы дифференцировать выражение , где и определены и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные и ,представляла собой полный дифференциал некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области было выполнено условие .

• 
  Слайд 3

  Интегрирующий множитель.

• 
  Слайд 4
  

  Если , то уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Однако это уравнение можно превратить в уравнения в полных дифференциалах умножением на подходящую функцию . Такая функция называется интегрирующим множителем для данного дифференциального уравнения.

• 
  Слайд 5
  

  Практически поступают так: берут выражение , делят на , если не зависит частное от , то находят по формуле , если в противном случае делят на и если частное не зависит от x , то существует и его находят по формуле

• 
  Слайд 6

  6.Дополнительные сведения.

• 
  Слайд 7
  

  Дифференциальное уравнение может быть также истолковано следующим образом.

  Пусть - общее решение дифференциального уравнения, т.е. семейство интегрирующих кривых в некоторой области , плоскости , в которой определена функция . Дифференциальное уравнение устанавливает связь между координатами любой точки области и значением производной в этой точке. Зная и точки , можно найти значение производной, т.е. угловой коэффициент касательной к интегрирующей кривой, проходящую через точку .

• 
  Слайд 8
  

  Рисунок 5 . Т.е. дифференциальное уравнение определяет совокупность направлений, или поле направлений в области .Изображая стрелкой направление, можно построить поле направлений дифференциального уравнения . М х у М у х

• 
  Слайд 9
  

  Геометрически задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, которые в каждой своей точке касаются направления, задаваемым полем .

• 
  Слайд 10

  Теорема (Коши).

  Если функция определена и непрерывна в области плоскости и имеет непрерывную частную производную во всех точках этой области, то, какова бы ни была точка области , всегда существует и притом единственная, функция , которая определена и непрерывна в некотором интервале, содержащим точку , является решением уравнения и принимает при значение .

• 
  Слайд 11

  7. Уравнение первого порядка, не разрешенные относительно производной.

• 
  Слайд 12
  

  Рассмотрим дифференциальное уравнение , не разрешенное относительно .

• 
  Слайд 13

  Случай 1.

  Уравнение первого порядка n-й степени , где n-целое положительное число, , - функции от х и у.

• 
  Слайд 14

  Получили:

• 
  Слайд 15

  Общие интегралы имеют вид:

• 
  Слайд 16

  Случай 2.

  Уравнение разрешенное относительно у и не содержащее х . Это уравнение решается методом введения параметра р. Пусть , тогда .

• 
  Слайд 17
  

  Пусть , тогда .

• 
  Слайд 18

  Случай 3.

  Уравнение разрешенное относительно х и не содержащее у: . Аналогично: ,

• 
  Слайд 19

  Случай 4.

  . Уравнения не содержащие х и у, но не обязательно разрешенные относительно у и х. (*) (**)

• 
  Слайд 20

  Случай 5.

  Уравнение Лагранжа. Уравнение, линейно относительно x и y , т.е. имеющее вид

• 
  Слайд 21

  1-йслучай .

  Его общий интеграл имеет вид , вместе с уравнением он дает общий интеграл уравнения Лагранжа.

• 
  Слайд 22

  2-й случай .

• 
  Слайд 23

  Случай 6.

  Уравнение Клеро