Презентация на тему "Интеграл" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Первообразная И Интеграл.

  Теория И Приложения.

• 
  Слайд 2

  Первообразнаяи интеграл

  Сведения из истории Первообразная Неопределенный интеграл.Правила интегрирования Определенный интеграл. Криволинейная трапеция. Геометрический смысл Спектры применения интеграла

• 
  Слайд 3
  

   Создатели  интегрального исчисления Готфрид Лейбниц (1646-1716)  Немецкий философ и математик Исаак Ньютон (1643-1727) Английский математик и физик Сведения из истории Формула Ньютона-Лейбница Для непрерывной функции где, F(x) -первообразная функции f(x)

• 
  Слайд 4
  

  Сенсация! В ноябре 1613 года королевский математик и астролог австрийского двора И.Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней он приобрел несколько бочек виноградного вина .При покупке Кеплер был поражен тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно-единственное действие –измеряя расстояние от наливного отверстия до точки днища. Ведь такое измерение не учитывало форму бочки! Размышляя над этой задачей , он нашел формулы не только для объема бочек, но и для объема самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. А вы знаете в чем тут дело? ?!

• 
  Слайд 5
  

  Математика за чайным столом Найдем объем поданного к столу лимона. Разрезав его на мелкие ломтики , ровно обрезав край каждого ломтика, можно легко превратить его в цилиндр, объем которого легко посчитать. Прикладывая друг к другу эти цилиндры , мы получим ступенчатое тело. Его объем равен сумме объемов цилиндров. Если ломтики очень маленькие, то объем ступенчатого тела мало отличается от объема лимона. ? ! Объемы каких тел изображенных на рисунке можно вычислить аналогично?

• 
  Слайд 6
  

  Первообразная Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого х из этого промежутка F '(x)=f(x) Пример. Первообразной для функции f(x)=x на всей числовой оси является F(x)=x2/2, поскольку ( х2/2)'=x Основное свойство. Если F(x)-первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C,где С –произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x) Геометрическая интерпретация у х

• 
  Слайд 7
  

  Неопределенный интеграл Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается где С –произвольная постоянная. Правила интегрирования

• 
  Слайд 8
  

  Знайте и применяйте

• 
  Слайд 9
  

  Криволинейная трапеция Криволинейная трапеция-это фигура: Ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x) на отрезке [а;в] Двумя вертикальными прямымих=а и х=в А такжеосью Ох у Теорема для вычисления площади криволинейной трапеции. (геометрический смысл интеграла) Если f(x) –неотрицательная , непрерывная функция на отрезке [а;в], а F(x)-её первообразная на данном отрезке,то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [а;в]: S=F(b)-F(a) х а в у=f(x) S у Интеграл функции f(x) от a до b—число, которое обозначается а и b –пределы интегрирования, причем а-нижний,b-верхний предел. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, переменная х-переменной интегрирования ps

• 
  Слайд 10
  

  Площадь фигуры Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что f(x) g(x) для любого x[a;b], где а и в –абсциссы точек пересечения графиков функций:

• 
  Слайд 11
  

  Применение интеграла Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:у=4х-х2; у=4-х Построим графики исходных функций:: у=4х-х2, квадратичная функция, график парабола, ветви параболы направлены вниз, вершина имеет координаты : х0=-4/-2=2; у0=4, т.е.(2;4) у=4-х, линейная функция , график прямая y 1 2 3 4 5 -1 x A B C S Находим пределы интегрирования: 4х-х2=4-х; x2-5х+4=0; х=4 и х=1

• 
  Слайд 12
  

  Интеграл в физике Нахождение перемещения по скорости движения Вычисление работы переменной силы

• 
  Слайд 13
  

  Решение прикладных задач Задача. Пирамида Хеопса представляет собой Правильную четырехугольную пирамиду высотой 147 м, в основании которой квадрат со стороной 232 м. Она построена из камня, плотность которого 2,5 г/см2..Найти работу против силы тяжести , затраченную при постройке. геометрия физика Объем тела Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси х криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [а;в] Объем тела, заключенного между двумя перпендикулярными к оси х плоскостями х=а и х=в; Где S(x)-площадь сечения плоскостью, проходящей через точку х[а;в] и перпендикулярной к оси х.

• 
  Слайд 14
  

  Пусть высота пирамиды равна Н, сторона основания в, плотность камня р. Обозначим чрез А(х) работу, которую надо совершить для постройки пирамиды от основания до высоты х; найдем у-сторону квадрата, полученного в горизонтальном сечении пирамиды на высоте х.. Из подобия треугольников получаем При подъеме этого слоя на высоту х была проделана работа dA, равная(gdm) x, где g-ускорение силы тяжести т.е. Подставляя числовые данные получим А=2, 37*1012Дж Рассмотрим тонкий слой пирамиды, расположенный на расстоянии х от основания. Пусть толщина слоя равна dx.Cлой можно приблизительно считать параллелепипедом. Масса его dm равна

• 
  Слайд 15
  

  Торопись,ведь дни проходят. Ты у времени в гостях. Не рассчитывай на помощь. Помни: все в твоих руках! Интегрирования тропинки одолейте без запинки Желаю успехов!