Презентация на тему "линейные дифференциальные уравнения первого порядка"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Темаурока:

  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Преподаватель математики и физики ГБПОУ Салаватского индустриального колледжа Ягаффарова Д.У. 2015г.

• 
  Слайд 2

  Опрос

  1. Какое уравнение называется дифференциальным? Уравнение, содержащее производные искомойфункции или её дифференциалы. 3.Что значит решить ДУ? Найти такую функцию, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. 4. Какое решение ДУ называется общим? Решение, содержащее произвольную постоянную С. 5. Какое решение ДУ называется частным? Решение, в которое подставлено числовое значение С. 2. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными?

• 
  Слайд 3
  

  7. Определите порядок следующих ДУ: 9. Какое уравнение называется ДУ первого порядка с разделяющимися переменными? Уравнение вида Уравнение вида 8. Какое уравнение называется ДУ первого порядка с разделёнными переменными? 6. Что называется порядком ДУ? Наивысший порядок производной, входящий в уравнение.

• 
  Слайд 4

  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

  Иоганн Бернулли (1667—1748) Яков Бернулли (1654-1705) К портрету Иоганна Вольтер написал четверостишие: Его ум видел истину, Его сердце познало справедливость. Он — гордость Швейцарии И всего человечества.

• 
  Слайд 5
  

  Объекты, названные в честь членов семьи Дифференциальное уравнение Бернулли — в честь Якова. Закон Бернулли и Интеграл Бернулли в гидродинамике — в честь Даниила. Лемниската Бернулли — в честь Якова. Многочлен Бернулли — в честь Якова. Неравенство Бернулли — в честь Иоганна. Распределение Бернулли в теории вероятностей — в честь Якова. Числа Бернулли — в честь Якова. Три поколения Бернулли дали 8 крупных математиков и физиков. Среди академиков Петербургской Академии наук — пятеро представителей семьи Бернулли. В честь Якова и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.

• 
  Слайд 6

  Уравнение Якова Бернулли

  Метод Лагранжа ДУ с разделяющимися переменными Неоднородное Однородное Метод Иоганна Бернулли Метод вариации произвольной постоянной Метод подстановки Линейное

• 
  Слайд 7

  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

  ЛинейноеДУ первого порядка называется однородным, если функция Замечание. Уравнение называется линейным, так как искомая функцияyи её производная y’входят в это уравнение в первой степени. Уравнение вида , где и – функции переменнойили постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка ЛинейноеДУ первого порядка называется неоднородным, если функция

• 
  Слайд 8

  1)

  Какие из данных уравнений являются линейными уравнениями первого порядка, а какие нет и почему? 1) Есть линейное уравнение первого порядка, так как yи y’входят в первой степени, а - функции одной переменной х 2) 3) 2) Не является линейным, так как содержит вторую производную 3) Не является линейным, так как содержит

• 
  Слайд 9

  Линейное однородное ДУ первого порядка

  1. Решить уравнение Решение: имеем Получаем (общее решение) 2. Решить уравнение Выразить производную функции через дифференциалы Разделить переменные Интегрировать (общее решение) Решение:

• 
  Слайд 10
  

  Линейное неоднородное ДУ. Метод Иоганна Бернулли Замечание. Любую величину можно представить в форме произведения двух сомножителей, причем один из множителей можно выбрать по своему желанию. В результате линейное неоднородное ДУ сводиться к двум уравнениям с разделяющимися переменными: где и - новые функции переменной 1. Решить уравнение Решение: Положим тогда или

• 
  Слайд 11
  

  Получим или Выразить производную функции через дифференциалы Разделить переменные Интегрировать С=0, ввиду произвольности в выборе (1) Имеем

• 
  Слайд 12
  

  Выразить производную функции через дифференциалы Разделить переменные Интегрировать постоянную С писать обязательно Окончательно получим (общее решение) Замечание. Уравнение (1) можно было записать в эквивалентном виде:

• 
  Слайд 13

  Алгоритм решения линейного ДУ первого порядка

  1. Приводят уравнение к виду находят 2. Используя подстановку и подставляют эти выражения в уравнение. 3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение. 4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию. 5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство 6. Если требуется найти частное решение , то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение. или

• 
  Слайд 14

  Примеры

  Решить уравнения: 1. 2. Ответ: Ответ:

• 
  Слайд 15

  Вопросы для самоконтроля:

  1. Какое уравнение называется линейным ДУ первого порядка? 2. При каких условиях линейное ДУ первого порядка называется однородным? ДУ с разделяющимися переменными 3. К какому ДУ приводится линейное однородное уравнение ? 4. Какими методами решается линейное неоднородное ДУ ? Методы Бернулли, Лагранжа 5. В чем заключается метод Бернулли? В подстановке

• 
  Слайд 16

  Домашнее задание

  1. Решить линейное ДУ первого порядка 2. Решить задачу Коши для линейного ДУ первого порядка

• 
  Слайд 17

  Спасибо за внимание