Презентация на тему "Логарифмы с параметрами"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Проект по алгебре на тему: «Логарифмы с параметрами»

  Авторы: Балаев Игорь, Калашников Иван, Редькин Александр.

• 
  Слайд 2

  Введение

  Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению уравнений, содержащих параметр. Решение задач с параметрами вызывает большие трудности у учащихся, так как их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Между тем, параметрические уравнения, в том числе и логарифмические, входят в состав сборников ЕГЭ. А ЕГЭ сдавать придется каждому. Данный проект должен помочь в изучении таких интересных тем, как «Логарифмы» и «Параметры», а так же должен помочь при подготовке к единому государственному экзамену.

• 
  Слайд 3

  Анализ ситуации

  Логарифмы, а тем более с параметрами – вещь очень сложная. Поэтому перед началом проекта был проведен опрос в нашем классе (22 человека, 3 не участвовали в опросе) : «Можете ли вы решать логарифмы с параметрами?». Результаты (представлены в диаграмме) оказались очень интересными:

• 
  Слайд 4

  Результаты опроса

• 
  Слайд 5
  

  Как мы видим из результатов опроса, логарифмические уравнения с параметрами особой популярностью не пользуются. Но это и не удивительно: чтобы их решать, нужно знать все о логарифмах.

• 
  Слайд 6

  Определение логарифма

  Логарифмом положительного числа в по основанию а, где а>0,a≠1,называется показатель степени c, в которую нужно возвести число а ,чтобы получилось в. logab=c, b>0, a>0, a≠1 ax=b

• 
  Слайд 7

  Основное логарифмическое тождество

  =

• 
  Слайд 8

  Свойства логарифмов

  Пусть а>0, a=1, b>0, c>0, r, p-любые действительные числа.

• 
  Слайд 9

  Параметры

  С логарифмами и его свойствами разобрались, теперь приступим к параметрам. Определение: Параметрами называются переменные a, b, c, ..., k, которые при решении данного уравнения считаются постоянными. Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения

• 
  Слайд 10

  Виды логарифмических уравнений с параметрами

  Логарифмические уравнения с параметрами можно разделить на три вида в зависимости от местоположения параметра: Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении. Уравнения, содержащие параметры в основании. Уравнения, содержащие параметры и в основании и в логарифмируемом выражении.

• 
  Слайд 11

  Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении

  Решить при всех a: logx + 1(x2 + a) = 2. Решение: Из определения логарифма следует, что x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1 и x2 + a > 0. Получаем уравнение x2 + a = (x + 1)2. Из ограничения x + 1 > 0 следует, что x2 + a > 0. Следовательно, нужно найти решения уравнения x2+a= =(x+1)2, удовлетворяющие неравенствам x + 1 > 0 и x ≠ 0. Раскроем скобки в правой части уравнения: x2 + a = x2 + 2x + 1.Вычитая x2 + 2x + a из обеих частей уравнения, находим –2x = 1 – a,откуда получаем: x= Из ограничения x + 1 > 0 следует ˃0, откуда a – 1 + 2 > 0. Значит, a > –1. Из ограничения x ≠ 0 находим ≠0 , что влечет a ≠ 1. Ответ: Если a > –1, a ≠ 1, то одно решение x= . Если a ≤ –1 или a = 1, то решений нет.

• 
  Слайд 12

  Уравнения, содержащие параметры в основании

  Решить при всех а: loga(x2+2x-8)=2 Решение: Из определения логарифма следует, что a≠1, a>0, x2+2x-8>0(x2). Значит, требуется решить уравнение a2=x2+2x-8. Решая это уравнение, получаем х= или х= . Подкоренное выражение положительно при всех значениях а, поэтому дальнейших ограничений не последует. Ответ: Если a > 0, a ≠ 1, то x= . Если a ≤ 0 или a = 1, то решений нет. 2

• 
  Слайд 13
  

  Уравнения, содержащие параметры и в основании и в логарифмируемом выражении

  Решить при всех a уравнение loga(ax + 1) = 1. Решение Из определения логарифма следует, что a >0, a≠1, ax + 1 > 0. Получаем уравнение ax + 1= a. Заметим, что так как a > 0, то ax + 1 = a > 0. Следовательно, надо решить уравнение ax +1= a при ограничениях на параметр a: a > 0, a ≠ 1. Вычитая из обеих частей уравнения единицу, получим ax = a– 1. Так как a > 0, то уравнение имеет единственное решение x=. Ответ: При a ≤ 0 и a = 1 решений нет. При a > 0 и a ≠ 1 одно решение x= .

• 
  Слайд 14

  Что дал этот проект?

  В процессе работы мы овладели начальными навыками решений параметрических уравнений, научились решать логарифмические уравнения с параметрами. Эта работа позволила нам лучше изучить и запомнить все свойства логарифмов. А главное, мы окончательно убедились в том, что есть вещи похуже проектной по технологии.

• 
  Слайд 15

  Результаты повторного опроса

  По окончанию данного проекта был проведен повторный опрос на тему «Можете ли вы решать логарифмические уравнения с параметрами?». Результаты оказались намного лучше предыдущих: теперь все 100% (19 человек) ответили «не могу».

• 
  Слайд 16