Презентация на тему "Примеры логарифмических уравнений и неравенств"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  y=log2x-1 (x2-2x-7) Log324-log22xxx=cos30x Логарифмические уравнения и неравенства. Методы решения pptcloud.ru

• 
  Слайд 2
  

  Exit Логарифмы в истории Логарифм Логарифмическая функция f(x)=logax Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

• 
  Слайд 3
  

  Открытие логарифмов - еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой. Обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита". 1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l / f = a / l (а - коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны). 2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем , которая является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

• 
  Слайд 4
  

  Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении "Псамлигт" Архимеда (287 - 212 гг. до н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, а2... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: am*an = am+n. Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер (1550-1617 гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики". Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцатизвуковой строй).

• 
  Слайд 5

  Что такое логарифм?

  logab=c Ûac=b Основное логарифмическое тождество

• 
  Слайд 6
  

  Основные свойства логарифмов 1) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: logaN1·N2 = logaN1 + logaN2  (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0). Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство примет вид logaN1·N2 = loga |N1| + loga |N2|   (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0). 2) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0). Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство примет вид   (a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).

• 
  Слайд 7
  

  3) Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: logaNk = k logaN         (a > 0, a ≠ 1, N > 0). Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то logaN2s = 2s loga |N|       (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0). 4) Формула перехода к другому основанию:       (a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, b > 0), в частности, если b = c, получим (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).

• 
  Слайд 8
  

  5) Из вышеуказанных свойств вытекают следующие формулы:

• 
  Слайд 9
  

  x y a y=logax y=ax y=x

• 
  Слайд 10
  

  Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 logax1 logax1>logax2). loga 1 = 0 и logaa = 1     (a > 0, a ≠ 1). Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.

• 
  Слайд 11
  

  x y y=logax 1 1 a y x y=logax -1 1 a a>1 0

• 
  Слайд 12
  

  2) logaf(x) = logag(x) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифмические уравнения logax = b. 1) Простейшее логарифмическое уравнение Решением является x=ab f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)>0. f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)= g(x), f(x)>0.

• 
  Слайд 13
  

  4) logh(x)f(x) = logh(x)g(x) f(x) > 0, h(x) ≠ 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), g(x) > 0. h(x) ≠ 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), Потеря решений при неравносильных переходах logaf(x) = logag(x)    f(x) = g(x)

• 
  Слайд 14
  

  Методы решения логарифмических уравнений Использование определения логарифма logab = cÛb = ac Пример log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3 Решение 5+3log2(x-3)=23 Ûlog2(x - 3) = 1 Ûx=5

• 
  Слайд 15
  

  Методы решения логарифмических уравнений Использование свойств логарифма logab = cÛb = ac Пример log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24), Решение О.Д.З.: x>0, x(x+3)=x+24Ûx2 + 2x - 24 = 0 Ûx={-6;4} Û x>0 Ûx=4

• 
  Слайд 16
  

  Методы решения логарифмических уравнений Метод подстановки f(logax)=0 Ût=logax f(t)=0 Пример lg2x - 3lgx + 2 = 0 Решение lg x = t lgx=1 t2-3t+2=0 Ûlgx=2 Ûx={10;100}

• 
  Слайд 17
  

  Пример 5lgx = 50 - xlg55lgx = 50 - 5lgx5lg x = 25 x=100

• 
  Слайд 18
  

  Методы решения логарифмических уравнений Уравнения, содержащие выражения вида Пример Решение log2(x+2)=t, t2-t-2=0.

• 
  Слайд 19
  

  Методы решения логарифмических уравнений Метод оценки левой и правой частей Пример log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5. Решение 1) 2x – x2 + 15 = – (x2 – 2x – 15) = –((x2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1)2)£ 16   log2 (2x – x2 + 15) £ 4. 2) x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)2 + 4 ³ 4; log2 (2x – x2 + 15)=4, x2 – 2x + 5 =4. x=1

• 
  Слайд 20
  

  Методы решения логарифмических уравнений Использование монотонности функций. Подбор корней. Пример log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5. Решение 2x–x2+15=t, t>0 x2–2x+5=20–t log2t=20-t y=log2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x2+15=16, находим, что x=1

• 
  Слайд 21
  

  1) logaf(x) > logag(x) Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифмические неравенства f(x)>g(x)>0, a>1. 0logh(x)g(x) f(x)>g(x)>0, h(x)>1. 0

• 
  Слайд 22
  

  3) logh(x)f(x)>logh(x)g(x) (h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0. 4) f(logax)>0 t=logax, f(t)>0.

• 
  Слайд 23
  

  Методы решения логарифмических неравенств с переменным основанием Быстрое избавление от логарифмов Пример log2x(x2-5x+6)0, x>0.

• 
  Слайд 24
  

  Правило знаков Очевидно, что lg x, как и loga x по любому основанию a > 1, имеет тот же знак, что и число x – 1. В более общем случае от логарифма попроизвольному основанию a можно перейти к основанию 10: Таким образом, знак величины loga x совпадает со знаком числа (x – 1)/(a – 1)или (x – 1)(a – 1). 1

• 
  Слайд 25
  

  Пример log2x(x-4) logx-1(6-x)0, 6-x>0, x>0, x≠1/2, x>1,x-1≠1.  x(4;5)(5;6)

• 
  Слайд 26