Презентация на тему "Медиапособие "Комбинаторика" ( Перестановки)" 7 класс

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Перестановки Примеры задач с решениями Задачи для закрепления Теоретический материал

• 
  Слайд 2
  

  Перестановкой из nэлементов называется любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд)

• 
  Слайд 3
  

  Сколькими способами можно рассадить в ряд на 3 стула трех учеников? Решение с помощью графа За корневую вершину графа возьмём произвольную точку плоскости О. На первый стул можно посадить любого из трех учеников - обозначим их A,B,C. А В С О

• 
  Слайд 4
  

  Посадив на первый стул ученика A, на второй стул можно посадить ученика B илиC. Если же на первый стул сядет ученик В, то на второй можно посадить ученика А или С. Если на первый стул сядет ученик С, то на второй можно посадить ученика А или В. А В С О В С А С А В

• 
  Слайд 5
  

  Очевидно, что третий стул в каждом случае займет оставшийся ученик. Это соответствует одной ветви графа, которая «вырастает» на каждой из предыдущих ветвей. В А В С О В С А С А В С В С А А

• 
  Слайд 6

  Запомните

  Граф можно не строить, если не требуется выписывать все возможные варианты, а нужно указать их число. В этом случае рассуждать нужно так: - на первый стул можно усадить одного изтрехчеловек, на второй одного издвухоставшихся на третий –одного оставшегося: Получаем3 * 2 *1 = 6вариантов (по правилу произведения)

• 
  Слайд 7

  Задача №2

  В гостинице семь одноместных номеров. Семь гостей желают в них разместиться. Причем трое заранее зарезервировали конкретные номера. Найдите числоспособоврасселения семигостей по семиномерам.

• 
  Слайд 8
  

  Так как три номера у нас были зарезервированы (то есть заняты), то мы их не рассматриваем Пусть 1-ый гость – , 2-ой гость – , 3-ий гость – , 4-ый гость – . За начало берем произвольную точку. В первый номер можно расселить любого из гостей гостиницы. Вы можете видеть это на графе. А) Гость займет 1-ый номер, гость - 2-ой, гость - 3-ий, гость - 4-ый номер. Б) Если в первый номер заселить гостя то во второй можно заселить либо гостя , либо - , либо - . Далее продолжаем по аналогии. Рассмотрим граф: Первый способ решения:с помощью графа

• 
  Слайд 9
  

  24 варианта

• 
  Слайд 10
  

  У гостя есть возможность заселиться в любой из четырех(4) номеров, у гостя - в любой из трех, у гостя – в любой из двух, у гостя - в один оставшийся, Гости могут заселяться в любом порядке: То есть гость не обязательно первый, гость второй и так далее, Эта задача решается с помощью последовательного умножения количества вариантов заселения гостей - то есть факториал. Второй способ решения

• 
  Слайд 11

  Факториал

  Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n! n!= 1*2*3*…*(n-1)*n

• 
  Слайд 12
  

  Так как три номера уже занято, значит(7-3)=4 номера свободно. Поскольку мы меняем местами четырех человек по свободным номерам, значит это будет перестановка из 4-х элементов. P(7-3)=(7-3)! =4! = 4*3*2*1 =24 - вариантаперестановок

• 
  Слайд 13

  Перестановка

  Перестановкой из nпредметов называется любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд) =n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)…(n-k)

• 
  Слайд 14

  Задача №3

  Сколькими способами можно рассадить 4 человек за круглым столом. (перестановка по кругу) 96 6 9 52

• 
  Слайд 15
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 16
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 17

  Решение к задаче №3

  Пользуясь формулой перестановок по кругу «Pn=(n-1)!»n-1 по тому что при перестановках элементов 1 элементов остается статичным и не переставляется. Получаем P4=(4-1)!=3!=6

• 
  Слайд 18

  Перестановки по кругу

  Pn=(n-1)

• 
  Слайд 19

  Задача №4

  Найдите число различных перестановок буквa,a,a,b,b,c,c (см. перестановка с повторением) 60 210 7 5040

• 
  Слайд 20
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 21
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 22

  Решение к задаче №4

  Эта задача решается с помощью формулы перестановок с повторением то есть получаем. =

• 
  Слайд 23

  Перестановки с повторением

  Кроме рассмотренных нами комбинаций в комбинаторике есть еще многие другие. Одна из наиболее важных типов перестановки с повторением.

• 
  Слайд 24
  

  Рассуждать нужно так: Возьмем m элементов среди которых имеется m1 одинаковых между собой элементов первого рода, m2 одинаковых элементов второго рода и т.д. Будем переставлять их всевозможными способами. Получившиеся комбинации носят название перестановки с повторяющимися элементами. Число различных между собой перестановок с повторяющимися элементами равно: или

• 
  Слайд 25
  

  Примеры задач с решениями перестановки

• 
  Слайд 26

  Задача №1

  Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: , синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг? 7 4 6 2 белый

• 
  Слайд 27
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 28
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 29

  Решение задачи №1

  Так как у флага три полосы и их нужно расположить всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 3 элементов: P3 =3!=3*2*1=6

• 
  Слайд 30

  Задача №2

  Подсчитаем, сколько существует различных способов каждому из пяти человек присвоить номер от одного до пяти? 700 10 61 120

• 
  Слайд 31

  Решение задачи №2

  Так как есть пять человек и нужно присвоить им пять номеров всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 5 элементов: P5=5!=5*4*3*2*1=120(способов)

• 
  Слайд 32
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 33
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 34

  Задача №3

  В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание? 25 6 11 15

• 
  Слайд 35

  Решение задачи№3

  Так как есть три машины, и нужно расставить их в очередь на ремонт всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 3 элементов: P3=3!=3*2*1=6

• 
  Слайд 36
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 37
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 38

  Задача №4

  Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «автор»? 120 100 30200 720

• 
  Слайд 39

  Решение задачи №4

  Так как в слове «автор» 5 букв, где все буквы разные и нужно расставить их всеми возможными способами, то мы используем перестановку из 5 элементов: P5=5!=5*4*3*2*1=120(способов)

• 
  Слайд 40
  

  Попробуйте ещё раз! Ошибка!!!

• 
  Слайд 41
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 42

  Задача №5

  В гостинице семь одноместных номеров.Семь гостей желают в них разместиться. Причем двое заранее зарезервироваликонкретные номера. Сколько существует способов расселения семи гостей по семиномерам? 120 1000 200 7520

• 
  Слайд 43
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 44
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 45

  Решение задачи №5

  Так как двое гостей уже зарезервировали номера, то остаётся пять посетителей и они могут расселиться по комнатам следующим способом: P5=5!=5*4*3*2*1=120

• 
  Слайд 46

  Задача №6

  Сколькими способами можно составить расписание на понедельник чтобы русский и литература стояли рядом.(Русский язык, Геометрия, Литература, Алгебра, Физкультура, История). 120 1000 200 7520

• 
  Слайд 47
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 48
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 49

  Решение задачи №6

  Так как русский язык и литература должны стоять рядом, то мы сгруппируем его в один элемент. Поэтому расписание можно составить следующим образом: P5=5!=5*4*3*2*1=120

• 
  Слайд 50

  Решение к задаче №7

  Перестановка из 7 элементов но при перестановке букв «а», получается одно слово, поэтому =2520

• 
  Слайд 51

  Задача №8

  Сколько можно составить слов из букв в слове математика? 151200 100 3542 720

• 
  Слайд 52
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 53
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 54

  Решение к задаче №8

  Перестановка из 10 элементов, но при перестановке букв «а», «м», «т» между собой, получается одно и то же слово, значит =151200

• 
  Слайд 55

  Задача №9

  Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,0,4,6? 96 120 10 520

• 
  Слайд 56

  Решение к задаче №9

  Р5 – количество перестановок где «0» на первом месте поэтому получается Р4 Р5-Р4=5!-4!=4!(5-1)=4!*4=96

• 
  Слайд 57
  

  Ошибка!!! Попробуйте ещё раз!

• 
  Слайд 58
  

  Верно!!! Сравните решение

• 
  Слайд 59
  

  Задачи для закрепления перестановки

• 
  Слайд 60
  

  Задача №6. У Спящей Красавицы 7 платьев. Сколькими способами она может их надевать, меняя каждый день, в течение недели? Задача №7.Старушка Бэйбэрикээн заказала у кузнеца 5 колокольчиков для своих пяти коров. Сколькими способами она может надеть колокольчики на своих коровах? Задача №8. Сколько различных восьмизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8 при условии, что ни одно из них не повторяется? Задача №9. Всего 6 различных красок. Сколькими способами можно раскрасить слово «Эврика», если все буквы должны быть раскрашены разными цветами?

• 
  Слайд 61

  Ответы к задачам 6-9:

  Задача №6: 7!=5040 Задача №7:5!=120 Задача №8:8!=30200 Задача №9: 6!=720

• 
  Слайд 62
  

  Задача №15. Слово - любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов а) ``ВЕКТОР''; б) ``ЛИНИЯ''; в) ``ПАРАБОЛА''; г) ``БИССЕКТРИСА''; д) ``МАТЕМАТИКА''; Задача 16. Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь в столовую? Задача 17. Сколько существует различных возможностей рассадить 5 юношей и 5 девушек за круглый стол с 10-ю креслами так, чтобы они чередовались?

• 
  Слайд 63

  Ответы к задачам 15-17:

  Задача №15: а)6!=720 б)5!-2!=120-2=118 в)8!-3!=30200-6=30194 г)11!-3!-2!=39916800-6-2=39916792 д)9!-2!-2!-3!=362880-2-2-6=362870 Задача №16:28! Задача №17:(5-1)!*2!=4!*2!=48